--- route: /wielokat-foremny-katy-przekatne-wzory-zadania-matura title: Wielokąt foremny - kąty, przekątne, wzory i zadania maturalne description: Wielokąt foremny na maturze: suma kątów wewnętrznych, kąt wielokąta foremnego i liczba przekątnych. Wzory i zadania CKE z rozwiązaniami krok po kroku. type: task_solution category: Planimetria tags: wielokąt foremny, kąt wewnętrzny wielokąta foremnego, suma kątów wielokąta, liczba przekątnych wielokąta, wzór na przekątne wielokąta, sześciokąt foremny wzory, kąt środkowy wielokąta, wielokąt foremny zadania maturalne, planimetria matura, dziesięciokąt foremny kąt, suma kątów wewnętrznych wzór published: 2026-08-05T07:15:42.187+00:00 updated: 2026-08-30T12:55:25.048259+00:00 --- # Wielokąt foremny - kąty, przekątne, wzory i zadania maturalne Wielokąt foremny to wielokąt, który ma wszystkie boki tej samej długości i wszystkie kąty wewnętrzne równe. Trzy wzory załatwiają większość zadań maturalnych: suma kątów wewnętrznych n-kąta to \((n-2) \cdot 180^{\circ}\), kąt wewnętrzny n-kąta foremnego to \(\frac{(n-2) \cdot 180^{\circ}}{n}\), a liczba przekątnych to \(\frac{n(n-3)}{2}\). CKE sięga po wielokąty foremne regularnie i niemal zawsze w zadaniach zamkniętych za 1 punkt: na maturze w maju 2010 (zadanie 13) trzeba było policzyć przekątne siedmiokąta foremnego, a na maturze w czerwcu 2025 (zadanie 26) kąt wpisany oparty na wierzchołkach dziesięciokąta foremnego. Oba zadania rozwiązujemy niżej krok po kroku, razem z kompletem wzorów, których potrzebujesz. ## Co to jest wielokąt foremny Wielokąt foremny to wielokąt wypukły, którego wszystkie boki mają równe długości i wszystkie kąty wewnętrzne mają równe miary. Najprostsze przykłady to trójkąt równoboczny (trzy boki) i kwadrat (cztery boki), dalej pięciokąt foremny, sześciokąt foremny i tak dalej. Dla każdej liczby \(n \geq 3\) istnieje dokładnie jeden kształt n-kąta foremnego. Dwie własności, które CKE lubi wykorzystywać: - Na każdym wielokącie foremnym można **opisać okrąg** i w każdy można **wpisać okrąg**. Oba okręgi mają wspólny środek, nazywany środkiem wielokąta. - Wierzchołki wielokąta foremnego dzielą okrąg opisany na \(n\) równych łuków, każdy o mierze \(\frac{360^{\circ}}{n}\). Ta obserwacja jest kluczem do zadań łączących wielokąty z [kątami wpisanymi i środkowymi w okręgu](/jak-obliczyc-kat-wpisany-srodkowy-okrag-twierdzenie-zadania). ## Suma kątów wewnętrznych wielokąta - wzór Suma kątów wewnętrznych dowolnego wielokąta wypukłego o \(n\) bokach wynosi \((n-2) \cdot 180^{\circ}\). Wzór działa dla każdego wielokąta wypukłego, nie tylko foremnego: dla trójkąta daje \(180^{\circ}\), dla czworokąta \(360^{\circ}\), dla pięciokąta \(540^{\circ}\). Skąd się bierze ten wzór? Wybierz jeden wierzchołek wielokąta i poprowadź z niego wszystkie przekątne. Podzielą one wielokąt na \(n-2\) trójkątów, a suma kątów każdego trójkąta to \(180^{\circ}\). Kąty tych trójkątów składają się dokładnie na kąty wielokąta, więc ich suma wynosi \((n-2) \cdot 180^{\circ}\). Nie musisz tego wzoru wkuwać na ślepo, wystarczy pamiętać obrazek z podziałem na trójkąty. ## Kąt wewnętrzny wielokąta foremnego - wzór i tabela W wielokącie foremnym wszystkie kąty są równe, więc jeden kąt wewnętrzny to suma kątów podzielona przez ich liczbę: $$\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^{\circ}}{n}$$ Warto też znać kąt środkowy: odcinki łączące środek wielokąta z wierzchołkami dzielą kąt pełny na \(n\) równych części, każda po \(\frac{360^{\circ}}{n}\). Zachodzi przy tym wygodna zależność: \(\alpha = 180^{\circ} - \frac{360^{\circ}}{n}\), czyli kąt wewnętrzny i kąt środkowy zawsze sumują się do \(180^{\circ}\). | Wielokąt | \(n\) | Kąt wewnętrzny | Suma kątów | |---|---|---|---| | trójkąt równoboczny | 3 | \(60^{\circ}\) | \(180^{\circ}\) | | kwadrat | 4 | \(90^{\circ}\) | \(360^{\circ}\) | | pięciokąt foremny | 5 | \(108^{\circ}\) | \(540^{\circ}\) | | sześciokąt foremny | 6 | \(120^{\circ}\) | \(720^{\circ}\) | | ośmiokąt foremny | 8 | \(135^{\circ}\) | \(1080^{\circ}\) | | dziesięciokąt foremny | 10 | \(144^{\circ}\) | \(1440^{\circ}\) | | dwunastokąt foremny | 12 | \(150^{\circ}\) | \(1800^{\circ}\) | ## Liczba przekątnych wielokąta - wzór Liczba przekątnych wielokąta o \(n\) bokach wynosi \(\frac{n(n-3)}{2}\). Czworokąt ma 2 przekątne, pięciokąt 5, sześciokąt 9, siedmiokąt 14, a dziesięciokąt już 35. Skąd ten wzór? Z każdego z \(n\) wierzchołków wychodzi \(n-3\) przekątnych: nie łączysz wierzchołka z nim samym ani z dwoma sąsiadami, bo odcinki do sąsiadów to boki. Iloczyn \(n(n-3)\) liczy jednak każdą przekątną dwa razy, raz z każdego końca, dlatego na końcu dzielisz przez 2. ## Sześciokąt foremny - ulubiona figura CKE Sześciokąt foremny warto znać osobno, bo ma wyjątkową własność: promień okręgu opisanego jest równy bokowi, \(R = a\). Przekątne przechodzące przez środek dzielą go bowiem na 6 trójkątów równobocznych o boku \(a\). Z tego natychmiast wynikają pozostałe wzory: promień okręgu wpisanego to wysokość trójkąta równobocznego, czyli \(r = \frac{a\sqrt{3}}{2}\), a pole to sześć pól trójkąta równobocznego: \(P = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}\). Pełne wyprowadzenie i więcej zadań z polami znajdziesz w poście o [polu sześciokąta foremnego](/jak-obliczyc-pole-szesciokata-foremnego-wzor-zadania). ## Zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku ### Zadanie 1: liczba przekątnych (Matura maj 2010, zadanie 13) Liczba przekątnych siedmiokąta foremnego jest równa: A) 7, B) 14, C) 21, D) 28. **Krok 1: zapisz wzór.** Liczba przekątnych n-kąta to \(\frac{n(n-3)}{2}\). **Krok 2: podstaw n = 7.** \(\frac{7 \cdot (7-3)}{2} = \frac{7 \cdot 4}{2} = \frac{28}{2} = 14\). **Krok 3: wybierz odpowiedź.** Prawidłowa jest B. Zwróć uwagę, że 28 (odpowiedź D) to wynik bez podzielenia przez 2, czyli klasyczny dystraktor. Możesz [przećwiczyć to zadanie w naszej bazie](/task/matura-maj-2010-13). ### Zadanie 2: ile boków ma wielokąt o danym kącie Kąt wewnętrzny wielokąta foremnego ma miarę \(144^{\circ}\). Ile boków ma ten wielokąt? **Krok 1: zapisz równanie.** \(\frac{(n-2) \cdot 180}{n} = 144\). **Krok 2: pomnóż obie strony przez n.** \(180n - 360 = 144n\). **Krok 3: rozwiąż.** \(36n = 360\), czyli \(n = 10\). To dziesięciokąt foremny. Szybsza droga: kąt środkowy to \(180^{\circ} - 144^{\circ} = 36^{\circ}\), więc \(n = \frac{360^{\circ}}{36^{\circ}} = 10\). Obie metody dają ten sam wynik, druga jest szybsza w zadaniach zamkniętych. ### Zadanie 3: kąt wpisany w dziesięciokącie (Matura czerwiec 2025, zadanie 26) Na dziesięciokącie foremnym \(ABCDEFGHIJ\) opisano okrąg o środku \(S\). Miara kąta wpisanego \(AGD\) jest równa: A) \(18^{\circ}\), B) \(36^{\circ}\), C) \(54^{\circ}\), D) \(60^{\circ}\). **Krok 1: podziel okrąg na łuki.** Wierzchołki dziesięciokąta foremnego dzielą okrąg opisany na 10 równych łuków, każdy o mierze \(\frac{360^{\circ}}{10} = 36^{\circ}\). **Krok 2: znajdź łuk, na którym oparty jest kąt.** Kąt \(AGD\) ma wierzchołek w punkcie \(G\), a ramiona przechodzą przez \(A\) i \(D\). Jest więc oparty na łuku od \(A\) do \(D\) niezawierającym punktu \(G\): to łuki \(AB\), \(BC\) i \(CD\), razem \(3 \cdot 36^{\circ} = 108^{\circ}\). **Krok 3: zastosuj twierdzenie o kącie wpisanym.** Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku: \(\frac{108^{\circ}}{2} = 54^{\circ}\). Prawidłowa odpowiedź to C. To zadanie pokazuje typowe połączenie tematów: wielokąt foremny plus [twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym](/jak-obliczyc-kat-wpisany-srodkowy-okrag-twierdzenie-zadania). Cały arkusz z tej sesji przećwiczysz na stronie [matury z czerwca 2025](/exams/matura-czerwiec-2025). ### Zadanie 4: od sumy kątów do liczby przekątnych Suma kątów wewnętrznych pewnego wielokąta wynosi \(1440^{\circ}\). Oblicz liczbę jego przekątnych. **Krok 1: wyznacz n.** \((n-2) \cdot 180 = 1440\), więc \(n - 2 = 8\), czyli \(n = 10\). **Krok 2: policz przekątne.** \(\frac{10 \cdot (10-3)}{2} = \frac{10 \cdot 7}{2} = 35\). Odpowiedź: wielokąt ma 35 przekątnych. ### Zadanie 5: sześciokąt foremny wpisany w okrąg Sześciokąt foremny jest wpisany w okrąg o promieniu 6. Oblicz obwód i pole tego sześciokąta. **Krok 1: wykorzystaj własność R = a.** W sześciokącie foremnym bok jest równy promieniowi okręgu opisanego, więc \(a = 6\). **Krok 2: oblicz obwód.** \(L = 6a = 6 \cdot 6 = 36\). **Krok 3: oblicz pole.** \(P = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 36 \cdot \sqrt{3}}{2} = 54\sqrt{3}\). Odpowiedź: obwód wynosi 36, a pole \(54\sqrt{3}\). ## Typowe pułapki w zadaniach o wielokątach - **Zapominanie o dzieleniu przez 2 we wzorze na przekątne.** Iloczyn \(n(n-3)\) liczy każdą przekątną dwukrotnie. W zadaniu 1 dystraktorem było właśnie 28 zamiast 14. - **Mylenie kąta wewnętrznego z kątem środkowym.** Kąt wewnętrzny dziesięciokąta foremnego to \(144^{\circ}\), a kąt środkowy \(36^{\circ}\). Suma tych dwóch kątów zawsze daje \(180^{\circ}\), więc masz szybki test poprawności obliczeń. - **Odejmowanie 2 zamiast 3 we wzorze na przekątne.** Z wierzchołka nie poprowadzisz przekątnej do niego samego ani do dwóch sąsiadów, dlatego w liczniku stoi \(n-3\). - **Stosowanie wzoru na kąt foremny do wielokąta, który foremny nie jest.** Suma \((n-2) \cdot 180^{\circ}\) działa dla każdego wielokąta wypukłego, ale dzielenie przez \(n\) daje miarę kąta tylko wtedy, gdy wszystkie kąty są równe. - **Odpowiadanie na złe pytanie.** Jeśli obliczysz \(n = 10\), a pytanie brzmi o liczbę przekątnych, zaznaczenie odpowiedzi "10" to strata punktu. Po obliczeniach zawsze wróć do treści pytania. ## Checklista: co musisz umieć przed maturą - Podać definicję wielokąta foremnego: równe boki i równe kąty. - Obliczyć sumę kątów wewnętrznych ze wzoru \((n-2) \cdot 180^{\circ}\). - Obliczyć kąt wewnętrzny wielokąta foremnego i odwrotnie, z danego kąta wyznaczyć \(n\). - Policzyć przekątne ze wzoru \(\frac{n(n-3)}{2}\). - Wykorzystać podział okręgu opisanego na \(n\) równych łuków w zadaniach z kątami wpisanymi. - Stosować własności sześciokąta foremnego: \(R = a\), \(r = \frac{a\sqrt{3}}{2}\), \(P = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}\). Wszystkie twierdzenia z tego działu zbiera nasz [przewodnik po planimetrii na maturze](/planimetria-na-maturze-figury-pola-twierdzenia). Jeśli chcesz przećwiczyć więcej zadań, wejdź na stronę działu [Planimetria](/topics/planimetria) albo przejrzyj [zadania CKE z planimetrii z rozwiązaniami](/zadania-cke-planimetria-z-rozwiazaniami), a wzory na pola wszystkich figur powtórzysz w [zestawieniu pól i obwodów](/pole-obwod-figur-matura-wzory). ## Najczęstsze pytania ### Jaki wielokąt nazywamy foremnym? Wielokąt foremny to wielokąt wypukły, który ma wszystkie boki równej długości i wszystkie kąty wewnętrzne równych miar. Przykłady to trójkąt równoboczny, kwadrat, pięciokąt foremny i sześciokąt foremny. Na każdym wielokącie foremnym można opisać okrąg i w każdy taki wielokąt można wpisać okrąg. ### Jak obliczyć kąt wewnętrzny wielokąta foremnego? Ze wzoru \(\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^{\circ}}{n}\), gdzie \(n\) to liczba boków. Na przykład dla ośmiokąta foremnego \(\alpha = \frac{6 \cdot 180^{\circ}}{8} = 135^{\circ}\). Szybsza wersja: policz kąt środkowy \(\frac{360^{\circ}}{n}\) i odejmij go od \(180^{\circ}\). ### Ile przekątnych ma wielokąt o n bokach? Liczba przekątnych wynosi \(\frac{n(n-3)}{2}\). Czworokąt ma 2 przekątne, pięciokąt 5, sześciokąt 9, siedmiokąt 14, a dziesięciokąt 35. Wzór bierze się stąd, że z każdego z \(n\) wierzchołków wychodzi \(n-3\) przekątnych, a każda przekątna jest liczona z obu końców. ### Dlaczego suma kątów wielokąta to (n-2) razy 180 stopni? Bo przekątne poprowadzone z jednego wierzchołka dzielą wielokąt wypukły o \(n\) bokach na \(n-2\) trójkąty, a suma kątów każdego trójkąta wynosi \(180^{\circ}\). Kąty wszystkich tych trójkątów składają się dokładnie na kąty wielokąta. ### Ile wynosi kąt wewnętrzny sześciokąta foremnego? \(120^{\circ}\). Suma kątów sześciokąta to \((6-2) \cdot 180^{\circ} = 720^{\circ}\), a w wersji foremnej dzieli się ją równo na 6 kątów. Kąt środkowy sześciokąta foremnego to \(60^{\circ}\) i właśnie dlatego figura składa się z sześciu trójkątów równobocznych. ### Czy zadania o wielokątach foremnych często pojawiają się na maturze? Tak, regularnie, niemal zawsze jako zadania zamknięte za 1 punkt. W naszej bazie znajdziesz między innymi zadanie o przekątnych siedmiokąta z matury maj 2010 i zadanie o kącie wpisanym w dziesięciokącie foremnym z matury czerwiec 2025. Do ich rozwiązania wystarczą trzy wzory z tego artykułu. Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)