---
route: /wartosci-funkcji-trygonometrycznych-tabela
title: Wartości funkcji trygonometrycznych - tabela sin, cos, tg dla kątów 0, 30, 45, 60, 90 stopni
description: Tabela wartości funkcji trygonometrycznych sin, cos, tg, ctg dla kątów 0-90 stopni. Wyprowadzenie, triki na zapamiętywanie i rozwiązane zadania maturalne.
type: task_solution
category: Trygonometria
tags: wartości funkcji trygonometrycznych, tabela trygonometryczna, sin 30 stopni, cos 45 stopni, tg 60 stopni, wartości sinusa cosinusa tangensa, matura matematyka trygonometria, tabela sin cos tg, funkcje trygonometryczne kąty, jak zapamiętać wartości trygonometryczne
published: 2026-04-20T05:59:54.088+00:00
updated: 2026-08-30T12:55:16.535828+00:00
---
# Wartości funkcji trygonometrycznych - tabela sin, cos, tg dla kątów 0, 30, 45, 60, 90 stopni
Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 0, 30, 45, 60 i 90 stopni to absolutny fundament matury z matematyki. Pojawiają się w zadaniach z trygonometrii, planimetrii, stereometrii i geometrii analitycznej. Jeśli nie znasz ich na pamięć, tracisz czas i punkty na egzaminie.

Interaktywny kalkulator: tabela-trygonometryczna (dostępny na stronie wpisu)

Dobra wiadomość: nie musisz się ich uczyć na pamięć jak wiersza. Pokażę ci, skąd się te wartości biorą, dam prosty trik na zapamiętanie i przejdziemy przez zadania maturalne.

## Tabela wartości funkcji trygonometrycznych

Oto kompletna tabela, którą musisz znać:

| Kąt | \(\sin\alpha\) | \(\cos\alpha\) | \(\operatorname{tg}\alpha\) | \(\operatorname{ctg}\alpha\) |
|-----|-----|-----|------|------|
| \(0°\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) | niezdef. |
| \(30°\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) | \(\sqrt{3}\) |
| \(45°\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(1\) | \(1\) |
| \(60°\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\sqrt{3}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) |
| \(90°\) | \(1\) | \(0\) | niezdef. | \(0\) |

Zauważ wzorzec: wartości sinusa rosną (0, 1/2, √2/2, √3/2, 1), a cosinusa maleją (1, √3/2, √2/2, 1/2, 0). To dlatego, że \(\cos\alpha = \sin(90° - \alpha)\).

## Skąd się biorą te wartości?

### Kąt 45° - trójkąt równoramienno-prostokątny

Weź kwadrat o boku 1 i podziel go przekątną. Dostajesz [trójkąt 45-45-90](/trojkat-30-60-90-45-45-90-zaleznosci-bokow-matura) z bokami \(1, 1, \sqrt{2}\).

Z definicji w trójkącie prostokątnym:

$$\sin 45° = \frac{\text{naprzeciwko}}{\text{przeciwprostokątna}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$\cos 45° = \frac{\text{przy kącie}}{\text{przeciwprostokątna}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$\operatorname{tg} 45° = \frac{1}{1} = 1$$

### Kąty 30° i 60° - trójkąt równoboczny

Weź trójkąt równoboczny o boku 2 i podziel go wysokością na pół. Dostajesz [trójkąt 30-60-90](/trojkat-30-60-90-45-45-90-zaleznosci-bokow-matura) z bokami \(1, \sqrt{3}, 2\).

Dla kąta 30°:

$$\sin 30° = \frac{1}{2}, \quad \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \operatorname{tg} 30° = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

Dla kąta 60°:

$$\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos 60° = \frac{1}{2}, \quad \operatorname{tg} 60° = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$$

## Trik na zapamiętywanie - metoda "korzeni"

Wartości sinusa dla kątów 0°, 30°, 45°, 60°, 90° to kolejno:

$$\frac{\sqrt{0}}{2}, \quad \frac{\sqrt{1}}{2}, \quad \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \frac{\sqrt{4}}{2}$$

Czyli pod pierwiastkiem masz 0, 1, 2, 3, 4 - a w mianowniku zawsze 2.

Dla cosinusa to samo, ale od tyłu: \(\frac{\sqrt{4}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{0}}{2}\).

Ten trik pozwala odtworzyć całą tabelę w 10 sekund na maturze.

## Wartości trygonometryczne a karta wzorów CKE

Ważna informacja: tabela wartości trygonometrycznych **jest** na [karcie wzorów CKE](/karta-wzorow-cke-2026-co-jest-czego-brakuje). Ale znając ją na pamięć, nie tracisz czasu na szukanie i unikasz pomyłek przy przepisywaniu. Na maturze każda minuta się liczy.

## Rozwiązane zadania maturalne

### Zadanie 1: Obliczanie wyrażeń trygonometrycznych

Oblicz wartość wyrażenia \(\sin^2 60° + \cos^2 30° - \operatorname{tg} 45°\).

**Rozwiązanie:**

Podstawiamy wartości z tabeli:

$$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 1 = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} - 1 = \frac{6}{4} - 1 = \frac{1}{2}$$

**Odpowiedź:** \(\frac{1}{2}\).

### Zadanie 2: Bok trójkąta prostokątnego

W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ostrych ma miarę 30°, a przeciwprostokątna ma długość 10 cm. Oblicz długości przyprostokątnych.

**Rozwiązanie:**

Kąty trójkąta: 90°, 30°, 60°.

Przyprostokątna naprzeciwko kąta 30°:

$$a = 10 \cdot \sin 30° = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \text{ cm}$$

Przyprostokątna naprzeciwko kąta 60°:

$$b = 10 \cdot \sin 60° = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \text{ cm}$$

**Sprawdzenie** ([twierdzenie Pitagorasa](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania)): \(5^2 + (5\sqrt{3})^2 = 25 + 75 = 100 = 10^2\). Zgadza się.

### Zadanie 3: Pole trójkąta z kątem

Oblicz [pole trójkąta](/jak-obliczyc-pole-trojkata-wzory-matura), którego dwa boki mają długości 6 cm i 8 cm, a kąt między nimi wynosi 60°.

**Rozwiązanie:**

Korzystamy ze wzoru \(P = \frac{1}{2}ab\sin\gamma\):

$$P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin 60° = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} \text{ cm}^2$$

**Odpowiedź:** \(P = 12\sqrt{3} \approx 20{,}78\) cm².

### Zadanie 4: Trygonometria w zadaniu zamkniętym

Jeśli \(\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}\) i \(\alpha \in (0°, 90°)\), to \(\operatorname{tg}\alpha\) jest równy:

A) \(\frac{1}{2}\)    B) \(\sqrt{3}\)    C) \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)    D) \(2\)

**Rozwiązanie:**

Z tabeli: \(\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\), więc \(\alpha = 60°\).

Odczytujemy: \(\operatorname{tg} 60° = \sqrt{3}\).

**Odpowiedź: B)**

To typowe [zadanie zamknięte](/zadania-zamkniete-matura-matematyka-triki-szybkie-metody) - rozwiązujesz je w 15 sekund, jeśli znasz tabelę na pamięć.

### Zadanie 5: Równanie trygonometryczne

Rozwiąż równanie \(2\sin x - 1 = 0\) dla \(x \in [0°, 360°)\).

**Rozwiązanie:**

$$2\sin x = 1$$

$$\sin x = \frac{1}{2}$$

Z tabeli: \(\sin 30° = \frac{1}{2}\).

Ale sinus jest dodatni też w II ćwiartce, więc drugie rozwiązanie to \(x = 180° - 30° = 150°\).

**Odpowiedź:** \(x = 30°\) lub \(x = 150°\).

## Rozszerzenie: wartości dla kątów spoza tabeli

Na maturze mogą pojawić się kąty takie jak 120°, 135°, 150° itp. Korzystasz wtedy ze wzorów redukcyjnych:

- \(\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha\)
- \(\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha\)
- \(\sin(180° + \alpha) = -\sin\alpha\)
- \(\cos(180° + \alpha) = -\cos\alpha\)

Na przykład: \(\sin 120° = \sin(180° - 60°) = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Więcej o wzorach redukcyjnych znajdziesz w naszym [przewodniku po trygonometrii maturalnej](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania).

## Typowe błędy

**Błąd 1: Mylenie sinusa z cosinusem.** Zapamiętaj: \(\sin 30° = \frac{1}{2}\), ale \(\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Nie odwrotnie! Sinus 30° jest mniejszy, bo kąt jest mały.

**Błąd 2: Zapominanie o nieusuwaniu \(\sqrt{2}\) z mianownika.** Poprawna wartość to \(\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\), nie \(\frac{1}{\sqrt{2}}\). Na maturze obie formy są akceptowane, ale pierwsza jest standardowa.

**Błąd 3: Tangens 90° istnieje.** Nie, \(\operatorname{tg} 90°\) jest **nieokreślony** (dzielenie przez zero). CKE czasem podaje go w odpowiedziach jako pułapkę.

**Błąd 4: Zapominanie o znakach w II, III i IV ćwiartce.** Sinuskosinusowy schemat ASTC (All-Sin-Tan-Cos) mówi, które funkcje są dodatnie w której ćwiartce.

## Jedynka trygonometryczna - bonus

Najważniejsza tożsamość, która łączy sinus i cosinus:

$$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$

Sprawdź dla dowolnego kąta z tabeli, np. \(\alpha = 30°\):

$$\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1 \checkmark$$

Ten wzór pozwala obliczyć cosinus, gdy znasz sinus (i odwrotnie). Przydaje się w zadaniach, gdzie podany jest tylko jeden stosunek trygonometryczny. Więcej o tożsamościach znajdziesz w poradniku o [sinusie, cosinusie i tangensie](/sinus-cosinus-tangens-matura-definicje-wartosci).

## Co musisz umieć - checklista

- Znać wartości sin, cos, tg dla kątów 0°, 30°, 45°, 60°, 90° (lub umieć je szybko odtworzyć)
- Obliczać wyrażenia trygonometryczne z wartościami z tabeli
- Stosować wartości trygonometryczne w zadaniach z trójkątami
- Rozwiązywać proste równania trygonometryczne
- Korzystać ze wzorów redukcyjnych dla kątów spoza tabeli
- Stosować jedynkę trygonometryczną

Przećwicz zadania z trygonometrii w naszej [bazie zadań maturalnych](/topics/trygonometria) - mamy zadania z każdego rocznika CKE. Sprawdź też [twierdzenie sinusów i cosinusów](/twierdzenie-sinusow-cosinusow-matura-kiedy-stosowac), bo te wzory często łączą się z wartościami z tabeli.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)