---
route: /twierdzenie-sinusow-cosinusow-matura-kiedy-stosowac
title: Twierdzenie sinusów i cosinusów na maturze - wzory, kiedy stosować i zadania z rozwiązaniami
description: Twierdzenie sinusów i cosinusów na maturze: algorytm decyzyjny, kiedy które stosować, pole trójkąta przez sinus, promień okręgu opisanego. 6 zadań z rozwiązaniami krok po kroku.
type: topic_guide
category: Trygonometria
tags: twierdzenie sinusów, twierdzenie cosinusów, matura matematyka, trygonometria, pole trójkąta, promień okręgu opisanego, karta wzorów CKE
author: Marcel Bogdan
author_url: https://www.sprawnamatura.pl/blog/autor/marcel-bogdan
published: 2026-03-31T09:00:00+00:00
updated: 2026-09-09T12:00:43.409+00:00
---
# Twierdzenie sinusów i cosinusów na maturze - wzory, kiedy stosować i zadania z rozwiązaniami
## Twierdzenie sinusów i cosinusów na maturze - wzory, kiedy stosować i zadania z rozwiązaniami

Twierdzenie sinusów i twierdzenie cosinusów to dwa narzędzia, które znajdziesz na [karcie wzorów CKE](/karta-wzorow-cke-co-jest-czego-brakuje). Wzory są podane, więc nie musisz ich pamiętać na pamięć. Problem polega na czymś innym - musisz wiedzieć, **kiedy sięgnąć po które twierdzenie**. Właśnie na tym etapie większość maturzystów się gubi: widzą trójkąt, widzą dane i nie wiedzą, od czego zacząć.

W tym przewodniku rozbijam oba twierdzenia na czynniki pierwsze. Pokażę Ci dokładnie, w jakich sytuacjach stosować sinusy, a w jakich cosinusy, dam Ci prosty algorytm decyzyjny i przeprowadzę Cię przez kilka zadań krok po kroku. Jeśli szukasz szerszego przeglądu [trygonometrii na maturze](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania), zajrzyj do osobnego artykułu - tutaj skupiamy się wyłącznie na tych dwóch twierdzeniach.

## Twierdzenie sinusów - wzór i interpretacja

### Wzór

Dla dowolnego trójkąta o bokach \( a, b, c \) i kątach \( \alpha, \beta, \gamma \) leżących naprzeciwko tych boków zachodzi:

$$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R$$

gdzie \( R \) to promień okręgu opisanego na trójkącie.

### Co to znaczy w praktyce?

Twierdzenie sinusów mówi, że stosunek każdego boku do sinusa kąta naprzeciwko jest taki sam - i równa się średnicy okręgu opisanego. To daje nam dwie rzeczy:

1. **Proporcje** - jeśli znamy jeden bok i kąt naprzeciwko, a potem znamy jeszcze jeden kąt, możemy wyliczyć drugi bok.
2. **Promień okręgu opisanego** - jeśli znamy dowolny bok i kąt naprzeciwko, od razu mamy \( R \).

## Kiedy stosować twierdzenie sinusów?

Twierdzenie sinusów jest najlepszym wyborem w trzech sytuacjach:

### 1. Dane: bok + kąt naprzeciwko + jeszcze jeden kąt (BKK)

Masz np. \( a = 6 \), \( \alpha = 30° \), \( \beta = 45° \). Szukasz boku \( b \).

$$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} \implies \frac{6}{\sin 30°} = \frac{b}{\sin 45°}$$

### 2. Dane: dwa boki + kąt naprzeciwko jednego z nich (BBK, ale kąt naprzeciwko)

Masz np. \( a = 8 \), \( b = 6 \), \( \alpha = 60° \). Szukasz kąta \( \beta \).

$$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} \implies \sin\beta = \frac{b \cdot \sin\alpha}{a}$$

**Uwaga:** ta sytuacja może dać dwa rozwiązania (przypadek niejednoznaczny), bo \( \sin\beta = \sin(180° - \beta) \).

### 3. Szukasz promienia okręgu opisanego

Zawsze gdy w zadaniu pojawia się okrąg opisany na trójkącie, myśl: twierdzenie sinusów.

$$R = \frac{a}{2\sin\alpha}$$

To pojawia się regularnie w zadaniach z [planimetrii](/topics/planimetria), szczególnie w połączeniu z okręgami opisanymi i wpisanymi.

## Twierdzenie cosinusów - wzór i interpretacja

### Wzór

Dla dowolnego trójkąta:

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos\alpha$$

Analogicznie dla pozostałych boków:

$$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos\beta$$

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos\gamma$$

### Uogólnienie twierdzenia Pitagorasa

Jeśli \( \alpha = 90° \), to \( \cos 90° = 0 \) i wzór upraszcza się do:

$$a^2 = b^2 + c^2$$

Właśnie dlatego twierdzenie cosinusów nazywa się uogólnieniem [twierdzenia Pitagorasa](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania). Pitagoras działa tylko w trójkącie prostokątnym - cosinusy działają w **każdym** trójkącie.

Człon \( -2bc \cdot \cos\alpha \) to "korekta", która uwzględnia fakt, że kąt nie musi być prosty:
- Gdy \( \alpha  90° \), cosinus jest ujemny, więc faktycznie dodajemy - bok \( a \) jest dłuższy.

Warto mieć na uwadze te zależności - więcej o wartościach funkcji trygonometrycznych znajdziesz w artykule o [sinusie, cosinusie i tangensie](/sinus-cosinus-tangens-matura-definicje-wartosci).

## Kiedy stosować twierdzenie cosinusów?

### 1. Dane: dwa boki i kąt między nimi (BKB) - szukasz trzeciego boku

Masz np. \( b = 5 \), \( c = 7 \), \( \alpha = 60° \). Szukasz \( a \).

$$a^2 = 25 + 49 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 60° = 74 - 70 \cdot \frac{1}{2} = 74 - 35 = 39$$

$$a = \sqrt{39}$$

### 2. Dane: trzy boki (BBB) - szukasz kąta

Masz np. \( a = 7 \), \( b = 5 \), \( c = 8 \). Szukasz kąta \( \alpha \).

$$\cos\alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{25 + 64 - 49}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}$$

$$\alpha = 60°$$

## Algorytm decyzyjny - które twierdzenie wybrać?

To jest najważniejsza część artykułu. Zanim zaczniesz liczyć, zadaj sobie te pytania w tej kolejności:

| Krok | Pytanie | Odpowiedź | Działanie |
|------|---------|-----------|-----------|
| 1 | Czy trójkąt jest prostokątny? | Tak | Użyj [Pitagorasa](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania) i trygonometrii kąta ostrego |
| 2 | Czy mam trzy boki (BBB)? | Tak | **Cosinusy** - wylicz dowolny kąt |
| 3 | Czy mam dwa boki i kąt między nimi (BKB)? | Tak | **Cosinusy** - wylicz trzeci bok |
| 4 | Czy mam bok i kąt naprzeciwko? | Tak | **Sinusy** - ustaw proporcję |
| 5 | Czy szukam promienia okręgu opisanego? | Tak | **Sinusy** - \( R = \frac{a}{2\sin\alpha} \) |
| 6 | Czy mam dwa boki i kąt naprzeciwko jednego z nich? | Tak | **Sinusy** - ale uważaj na przypadek niejednoznaczny |

**Złota zasada:** jeśli masz kąt **między** dwoma znanymi bokami - cosinusy. Jeśli masz kąt **naprzeciwko** znanego boku - sinusy.

## Pole trójkąta przez sinus kąta

Oprócz dwóch głównych twierdzeń, na [karcie wzorów CKE](/karta-wzorow-cke-co-jest-czego-brakuje) znajdziesz jeszcze jeden wzór ściśle z nimi związany:

$$P = \frac{1}{2}ab \cdot \sin\gamma$$

gdzie \( a \) i \( b \) to dwa boki trójkąta, a \( \gamma \) to kąt między nimi.

Ten wzór jest niezwykle przydatny, bo oblicza [pole trójkąta](/pole-obwod-figur-matura-wzory) bez konieczności wyznaczania wysokości. Wystarczą dwa boki i kąt między nimi - dane, które często masz od razu lub możesz łatwo wyliczyć z twierdzenia cosinusów.

## Rozwiązane przykłady

### Przykład 1: Dwa boki i kąt między nimi - wyznacz trzeci bok

**Treść:** W trójkącie \( ABC \) dane są \( b = 4 \), \( c = 6 \) i \( \alpha = 120° \). Oblicz długość boku \( a \).

**Analiza danych:** Mam dwa boki i kąt między nimi (BKB) - twierdzenie cosinusów.

**Rozwiązanie:**

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos\alpha$$

$$a^2 = 16 + 36 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos 120°$$

$$a^2 = 52 - 48 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 52 + 24 = 76$$

$$a = \sqrt{76} = 2\sqrt{19}$$

**Komentarz:** Cosinus 120° jest ujemny, więc zamiast odejmować, dodajemy. To logiczne - kąt rozwarty "rozciąga" bok naprzeciwko.

### Przykład 2: Trzy boki - wyznacz największy kąt

**Treść:** Boki trójkąta mają długości 5, 7 i 10. Oblicz miarę największego kąta.

**Analiza danych:** Mam trzy boki (BBB), szukam kąta - twierdzenie cosinusów. Największy kąt leży naprzeciwko najdłuższego boku (10).

**Rozwiązanie:**

Oznaczmy \( a = 10 \), \( b = 5 \), \( c = 7 \).

$$\cos\alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{25 + 49 - 100}{2 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{-26}{70} = -\frac{13}{35}$$

Cosinus jest ujemny, więc kąt jest rozwarty (większy niż 90°): \( \alpha = \arccos\!\left(-\frac{13}{35}\right) \approx 111{,}8° \).

### Przykład 3: Promień okręgu opisanego

**Treść:** W trójkącie \( ABC \) bok \( a = 8 \) i kąt \( \alpha = 30° \). Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

**Analiza danych:** Szukam \( R \), mam bok i kąt naprzeciwko - twierdzenie sinusów.

**Rozwiązanie:**

$$2R = \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{8}{\sin 30°} = \frac{8}{\frac{1}{2}} = 16$$

$$R = 8$$

**Komentarz:** To zadanie zamknięte na maturze rozwiązujesz w 30 sekund. Taki typ pojawia się w [pewniakach maturalnych](/pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia).

### Przykład 4: Pole trójkąta ogólnego

**Treść:** Dwa boki trójkąta mają długości 6 i 10, a kąt między nimi ma miarę 150°. Oblicz pole tego trójkąta.

**Analiza danych:** Mam dwa boki i kąt między nimi - pole ze wzoru z sinusem.

**Rozwiązanie:**

$$P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \sin 150° = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot \frac{1}{2} = 15$$

**Komentarz:** \( \sin 150° = \sin 30° = \frac{1}{2} \). Warto pamiętać, że sinus kąta rozwartego to sinus jego dopełnienia do 180° - więcej o tym w artykule o [wartościach sinusa, cosinusa i tangensa](/sinus-cosinus-tangens-matura-definicje-wartosci).

### Przykład 5: Zadanie łączone - cosinusy, a potem pole

**Treść:** W trójkącie \( ABC \) dane są \( a = 7 \), \( b = 5 \), \( c = 8 \). Oblicz pole tego trójkąta.

**Analiza danych:** Mam trzy boki, szukam pola. Najpierw muszę wyznaczyć kąt (cosinusy), potem policzę pole ze wzoru z sinusem.

**Rozwiązanie:**

Krok 1 - wyznaczam kąt \( \gamma \) (między bokami \( a \) i \( b \)):

$$\cos\gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{49 + 25 - 64}{2 \cdot 7 \cdot 5} = \frac{10}{70} = \frac{1}{7}$$

Krok 2 - obliczam \( \sin\gamma \):

$$\sin^2\gamma = 1 - \cos^2\gamma = 1 - \frac{1}{49} = \frac{48}{49}$$

$$\sin\gamma = \frac{\sqrt{48}}{7} = \frac{4\sqrt{3}}{7}$$

Krok 3 - pole trójkąta:

$$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin\gamma = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 5 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{7} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4\sqrt{3} = 10\sqrt{3}$$

**Komentarz:** Zwróć uwagę, jak przechodzę od cosinusa do sinusa przez jedynkę trygonometryczną \( \sin^2\gamma + \cos^2\gamma = 1 \). Tego nie ominiesz na maturze.

### Przykład 6: Zadanie z CKE - trójkąt w okręgu

**Treść:** W okrąg o promieniu \( R = 5 \) wpisano trójkąt, w którym jeden z boków ma długość 6, a kąt naprzeciwko tego boku ma miarę \( \alpha \). Oblicz \( \sin\alpha \).

**Rozwiązanie:**

$$\frac{a}{\sin\alpha} = 2R$$

$$\frac{6}{\sin\alpha} = 10$$

$$\sin\alpha = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$$

## Kiedy NIE używać tych twierdzeń?

Twierdzenie sinusów i cosinusów to narzędzia do **trójkątów ogólnych**. Jeśli wiesz, że trójkąt jest prostokątny, masz prostsze metody:

| Sytuacja | Lepsze narzędzie | Dlaczego? |
|----------|------------------|-----------|
| Trójkąt prostokątny, szukam boku | [Twierdzenie Pitagorasa](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania) | \( a^2 + b^2 = c^2 \) - szybciej i prościej |
| Trójkąt prostokątny, szukam kąta | Definicja sin/cos/tan | \( \sin\alpha = \frac{\text{naprzeciwko}}{\text{przeciwprostokątna}} \) |
| [Trójkąt 30-60-90 lub 45-45-90](/trojkat-30-60-90-45-45-90-zaleznosci-bokow-matura) | Stałe proporcje boków | \( 1 : \sqrt{3} : 2 \) lub \( 1 : 1 : \sqrt{2} \) |
| Pole trójkąta prostokątnego | \( P = \frac{1}{2}ab \) | Przyprostokątne to od razu podstawa i wysokość |

## Tabela porównawcza: twierdzenie sinusów vs cosinusów

| Cecha | Twierdzenie sinusów | Twierdzenie cosinusów |
|-------|--------------------|-----------------------|
| **Wzór** | \( \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = 2R \) | \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha \) |
| **Gdy mam BKK** | Tak - idealne | Nie |
| **Gdy mam BKB** | Nie | Tak - idealne |
| **Gdy mam BBB** | Nie | Tak - wyliczam kąt |
| **Gdy mam BBK (kąt naprzeciwko)** | Tak, ale uwaga na niejednoznaczność | Nie |
| **Daje promień R** | Tak - wprost | Nie |
| **Związek z Pitagorasem** | Brak | Uogólnienie (dla 90° daje Pitagorasa) |
| **Najczęstsza pułapka** | Przypadek niejednoznaczny (dwa kąty) | Zapomnienie o znaku minusa przy cos > 90° |

## Strategia na maturze - podsumowanie

Kiedy na arkuszu zobaczysz trójkąt ogólny (nie prostokątny), wykonaj te kroki:

1. **Oznacz dane** - wpisz znane boki i kąty na rysunek.
2. **Sprawdź, czy jest kąt prosty** - jeśli tak, użyj Pitagorasa.
3. **Policz dane** - ile znasz boków? Ile kątów?
4. **Zastosuj algorytm decyzyjny** z tabeli wyżej.
5. **Jeśli szukasz pola** - pomyśl o wzorze \( P = \frac{1}{2}ab\sin\gamma \).
6. **Jeśli szukasz \( R \)** - myśl: sinusy.

Oba twierdzenia są na karcie wzorów, więc nie stresujesz się zapamiętywaniem. Twoim zadaniem jest rozpoznać sytuację i wybrać odpowiednie narzędzie. Przećwicz to na [zadaniach z trygonometrii](/topics/trygonometria) i [planimetrii](/topics/planimetria) - im więcej trójkątów rozwiążesz, tym szybciej będziesz podejmować decyzje na egzaminie.

Jeśli chcesz ogarnąć trygonometrię szerzej - definicje, wykresy, równania - zajrzyj do [kompletnego przewodnika po trygonometrii maturalnej](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania). A jeśli potrzebujesz powtórki z [planimetrii](/planimetria-na-maturze-pola-twierdzenia-zadania), tam też znajdziesz twierdzenia sinusów i cosinusów w kontekście konkretnych figur.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)