---
route: /trojkat-rownoramienny-w-ukladzie-wspolrzednych-matura-rozszerzona
title: Trójkąt równoramienny w układzie współrzędnych - matura rozszerzona: wierzchołek na symetralnej podstawy, pole i prosta z ramieniem
description: Zadanie za 6 punktów z matury rozszerzonej krok po kroku: wierzchołek C na symetralnej podstawy, pole z odległości od prostej i dwa trójkąty w odpowiedzi.
type: task_solution
category: Geometria analityczna
tags: trójkąt równoramienny w układzie współrzędnych, matura rozszerzona geometria analityczna, wierzchołek trójkąta na symetralnej podstawy, współrzędne wierzchołków trójkąta równoramiennego, symetralna odcinka równanie wierzchołek C, odległość punktu od prostej wysokość trójkąta pole, bok BC zawarty w prostej o równaniu, okrąg wpisany w trójkąt równoramienny współrzędne, zadania za 6 punktów matura rozszerzona, geometria analityczna zadania otwarte CKE, trójkąt równoramienny pole 15 współrzędne
published: 2026-09-20T07:15:00+00:00
updated: 2026-09-20T10:28:43.476387+00:00
---
# Trójkąt równoramienny w układzie współrzędnych - matura rozszerzona: wierzchołek na symetralnej podstawy, pole i prosta z ramieniem
W trójkącie równoramiennym \(ABC\), w którym \(|AC| = |BC|\), wierzchołek \(C\) leży na symetralnej podstawy \(AB\), bo jest jednakowo oddalony od obu jej końców. Dlatego zadanie z matury rozszerzonej rozwiązujesz jednym schematem: liczysz środek podstawy i równanie symetralnej, a potem szukasz na niej punktu \(C\), który spełnia drugi warunek z treści (leży na danej prostej, daje zadane pole albo pasuje do okręgu). Gdy zamiast całej podstawy masz tylko wierzchołek \(A\), prostą zawierającą ramię \(BC\) i pole, wysokością jest odległość punktu \(A\) od tej prostej, z pola wyznaczasz długość ramienia, a warunek \(|AC| = |BC|\) daje równanie kwadratowe z dwoma położeniami \(C\).

To jeden z droższych typów zadań w arkuszu rozszerzonym. W [arkuszu z maja 2022](/exams/matura-rozszerzona-maj-2022) zadanie 14 o trójkącie równoramiennym z polem \(15\) było warte \(6\) punktów, tyle samo co zadanie 7 z maja 2010 z niemal identyczną treścią i zadanie 14 z maja 2018 z okręgiem wpisanym. W czerwcu 2016 (zadanie 16) i w [maju 2026](/exams/matura-rozszerzona-maj-2026) (zadanie 9) ten sam pomysł kosztował \(5\) punktów. Pięć zadań, jedna własność geometryczna i kilka wzorów, które znasz z podstawy. Niżej masz schemat, komplet wzorów i wszystkie pięć zadań rozwiązanych do końca, razem z drugim trójkątem, o którym łatwo zapomnieć.

## Dlaczego wierzchołek C leży na symetralnej podstawy

Symetralna odcinka to zbiór punktów równo oddalonych od jego końców. Skoro \(|AC| = |BC|\), to \(C\) jest równo oddalony od \(A\) i od \(B\), więc leży na symetralnej odcinka \(AB\). Ta jedna obserwacja zamienia warunek „trójkąt równoramienny" na równanie prostej, a szukanie \(C\) na przecięcie tej prostej z drugim warunkiem z treści.

Z tej samej własności wynika reszta: wysokość poprowadzona z \(C\) na podstawę \(AB\) leży na symetralnej, więc jest jednocześnie środkową (trafia w środek \(S\) podstawy), dwusieczną kąta \(ACB\) i osią symetrii trójkąta. Na osi symetrii leżą też środek okręgu opisanego i środek okręgu wpisanego, co wykorzystuje zadanie z maja 2018. Własności bez współrzędnych (kąty przy podstawie, wysokość z Pitagorasa) masz zebrane we wpisie o [trójkącie równoramiennym w planimetrii](/trojkat-rownoramienny-wlasnosci-wysokosc-katy-pole-zadania-matura); tutaj zajmujemy się wyłącznie wersją z układem współrzędnych.

## Schemat rozwiązania w czterech krokach

Schemat jest ten sam niezależnie od tego, czy szukasz \(C\), \(B\), pola czy równania okręgu: zapisz symetralną podstawy, dołóż drugi warunek z treści, rozwiąż układ i sprawdź każde rozwiązanie z resztą treści. Różnią się tylko dane wejściowe.

1. **Środek i kierunek podstawy.** Ze współrzędnych \(A\) i \(B\) policz [środek odcinka](/jak-obliczyc-srodek-odcinka-wzor-wspolrzedne) \(S\) oraz współczynnik kierunkowy \(a_{AB}\).
2. **Równanie symetralnej.** Prosta przez \(S\) prostopadła do \(AB\) ma współczynnik \(-\frac{1}{a_{AB}}\) (szczegóły [warunku prostopadłości](/proste-rownolegle-prostopadle-warunki-wzory-zadania) są osobno). Jeśli podstawa jest pozioma, symetralna to \(x = x_S\); jeśli pionowa, \(y = y_S\).
3. **Punkt C z drugiego warunku.** Gdy ramię leży na danej prostej, \(C\) to [punkt przecięcia](/punkt-przeciecia-dwoch-prostych-jak-obliczyc) symetralnej z tą prostą. Gdy dane jest pole, z \(P = \frac{1}{2}|AB| \cdot h\) liczysz wysokość \(h\) i szukasz na symetralnej punktu oddalonego od \(S\) o \(h\). Gdy dany jest okrąg wpisany lub opisany, jego środek leży na symetralnej.
4. **Sprawdzenie obu rozwiązań.** Równanie kwadratowe z kroku 3 daje zwykle dwa punkty \(C\), po jednym z każdej strony podstawy. Odrzucasz tylko ten, który przeczy treści (na przykład „obie współrzędne ujemne"). Jeśli treść nic nie mówi, odpowiedzią są oba trójkąty.

## Trzy warianty zadania i czego szukasz w każdym

Arkusze rozszerzone podają dane na trzy sposoby, a wariant rozpoznajesz po tym, co dostajesz na wejściu: całą podstawę, sam wierzchołek podstawy z prostą ramienia albo wierzchołek podstawy z okręgiem. Pierwszy wariant prowadzi wprost przez symetralną, dwa pozostałe wymagają najpierw odzyskania brakującego elementu.

**Wariant 1: dana podstawa \(AB\) i coś o ramieniu.** Czerwiec 2016 (zadanie 16) podaje prostą z wysokością opuszczoną z \(A\), czyli prostą prostopadłą do \(BC\); maj 2026 (zadanie 9) podaje prostą zawierającą ramię. W obu \(C\) to przecięcie symetralnej \(AB\) z prostą \(BC\).

**Wariant 2: dany wierzchołek \(A\), prosta zawierająca ramię \(BC\) i pole.** Maj 2010 (zadanie 7) i maj 2022 (zadanie 14). Podstawy nie znasz, więc symetralnej nie napiszesz. Zamiast tego: odległość \(A\) od prostej \(BC\) to wysokość opuszczona na ramię, z pola dostajesz \(|BC|\), a skoro \(|AC| = |BC|\), to \(C\) leży na prostej \(BC\) w znanej odległości od \(A\). Wychodzą dwa punkty \(C\), a dla każdego dwa punkty \(B\).

**Wariant 3: dany wierzchołek \(A\) i okrąg wpisany.** Maj 2018 (zadanie 14). Boki \(AB\) i \(AC\) leżą na stycznych do okręgu poprowadzonych z \(A\), a środek okręgu leży na osi symetrii, czyli na symetralnej podstawy. Musisz rozstrzygnąć, która styczna jest podstawą, i robi to za ciebie warunek z treści.

## Wzory

Środek odcinka AB:

$$S = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)$$

Współczynnik kierunkowy prostej AB:

$$a_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}, \quad x_A \ne x_B$$

Warunek prostopadłości prostych:

$$a_1 \cdot a_2 = -1$$

Równanie symetralnej odcinka AB:

$$y - y_S = -\frac{1}{a_{AB}}(x - x_S)$$

Odległość punktu od prostej:

$$d(P, l) = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}, \quad l: Ax + By + C = 0$$

Pole trójkąta z podstawy i wysokości:

$$P = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot h$$

Długość odcinka AB:

$$|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$

Środek odcinka, warunek prostopadłości, odległość punktu od prostej i długość odcinka masz w tablicach; równanie symetralnej składasz z nich sam. Wyprowadzenie tego równania i drugą metodę (z równości \(|PA| = |PB|\)) opisuje wpis o [symetralnej odcinka](/symetralna-odcinka-rownanie-wzor-zadania-matura), a wzór na odległość z przykładami wpis o [odległości punktu od prostej](/odleglosc-punktu-od-prostej-wzor-zadania). Tutaj używamy ich bez ponownego wyprowadzania.

## Przykład 1: Wierzchołek C z symetralnej i prostej ramienia (matura rozszerzona czerwiec 2016, zadanie 16)

**Treść:** Punkty \(A = (-7, -2)\) i \(B = (4, -7)\) są wierzchołkami podstawy trójkąta równoramiennego \(ABC\), a wysokość opuszczona z wierzchołka \(A\) tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu \(2x + 19y + 52 = 0\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\).

**Krok 1: Środek i współczynnik kierunkowy podstawy.**

$$S = \left(\frac{-7 + 4}{2}, \frac{-2 - 7}{2}\right) = \left(-\frac{3}{2}, -\frac{9}{2}\right), \qquad a_{AB} = \frac{-7 - (-2)}{4 - (-7)} = -\frac{5}{11}$$

**Krok 2: Równanie symetralnej podstawy.** Prosta prostopadła do \(AB\) ma współczynnik \(\frac{11}{5}\) i przechodzi przez \(S\):

$$y + \frac{9}{2} = \frac{11}{5}\left(x + \frac{3}{2}\right) \quad \Rightarrow \quad y = \frac{11}{5}x - \frac{6}{5}$$

**Krok 3: Prosta zawierająca ramię BC.** Wysokość z \(A\) jest prostopadła do \(BC\) (i faktycznie przechodzi przez \(A\): \(2 \cdot (-7) + 19 \cdot (-2) + 52 = 0\)). Prosta \(2x + 19y + 52 = 0\) ma współczynnik kierunkowy \(-\frac{2}{19}\), więc \(BC\) ma współczynnik \(\frac{19}{2}\) i przechodzi przez \(B = (4, -7)\):

$$y + 7 = \frac{19}{2}(x - 4) \quad \Rightarrow \quad y = \frac{19}{2}x - 45$$

**Krok 4: Punkt przecięcia symetralnej z prostą BC.** Mnożysz równanie stronami przez \(10\), żeby pozbyć się ułamków:

$$\frac{11}{5}x - \frac{6}{5} = \frac{19}{2}x - 45 \quad \Rightarrow \quad 22x - 12 = 95x - 450 \quad \Rightarrow \quad 73x = 438 \quad \Rightarrow \quad x = 6$$

Stąd \(y = \frac{19}{2} \cdot 6 - 45 = 12\).

**Krok 5: Sprawdzenie.** \(|AC|^2 = 13^2 + 14^2 = 365\) oraz \(|BC|^2 = 2^2 + 19^2 = 365\), więc ramiona są równe. Równanie z kroku 4 jest liniowe, więc rozwiązanie jest jedno: przecięcie dwóch prostych.

**Odpowiedź:** \(C = (6, 12)\).

## Przykład 2: Ramię na danej prostej i okrąg o środku na ramieniu (matura rozszerzona maj 2026, zadanie 9)

**Treść:** W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) punkty \(A = (1, -1)\) oraz \(B = (4, 0)\) są wierzchołkami trójkąta \(ABC\), w którym \(|CA| = |CB|\). Jedno z ramion trójkąta \(ABC\) zawiera się w prostej o równaniu \(x + 2y - 4 = 0\). Na boku \(AC\) tego trójkąta obrano taki punkt \(M\), że \(|AM| : |MC| = 1 : 4\). Wyznacz równanie okręgu, który ma środek w punkcie \(M\) i przechodzi przez punkt \(C\).

**Krok 1: Które ramię leży na prostej.** Podstawiasz oba końce podstawy: dla \(A\) jest \(1 - 2 - 4 = -5 \ne 0\), dla \(B\) jest \(4 + 0 - 4 = 0\). Na prostej leży \(B\), więc to ramię \(BC\).

**Krok 2: Symetralna podstawy AB.**

$$S = \left(\frac{5}{2}, -\frac{1}{2}\right), \qquad a_{AB} = \frac{0 - (-1)}{4 - 1} = \frac{1}{3}$$

Symetralna ma współczynnik \(-3\):

$$y + \frac{1}{2} = -3\left(x - \frac{5}{2}\right) \quad \Rightarrow \quad y = -3x + 7$$

**Krok 3: Wierzchołek C.** Podstawiasz \(y = -3x + 7\) do równania prostej \(BC\):

$$x + 2(-3x + 7) - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad -5x + 10 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2, \quad y = 1$$

Zatem \(C = (2, 1)\). Kontrola: \(|CA|^2 = 1 + 4 = 5\) i \(|CB|^2 = 4 + 1 = 5\).

**Krok 4: Punkt M i promień.** \(M\) dzieli \(AC\) w stosunku \(1 : 4\), więc leży w jednej piątej drogi od \(A\) do \(C\):

$$M = \left(1 + \frac{1}{5}(2 - 1), \ -1 + \frac{1}{5}(1 - (-1))\right) = \left(\frac{6}{5}, -\frac{3}{5}\right)$$

Promień to \(|MC| = \frac{4}{5}|AC| = \frac{4}{5}\sqrt{5}\), czyli \(r^2 = \frac{16}{25} \cdot 5 = \frac{16}{5}\).

**Odpowiedź:** \(\left(x - \frac{6}{5}\right)^2 + \left(y + \frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{5}\).

## Przykład 3: Wierzchołek A, prosta z ramieniem BC i pole 15 (matura rozszerzona maj 2010, zadanie 7)

**Treść:** Punkt \(A = (-2, 5)\) jest jednym z wierzchołków trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC| = |BC|\). Pole tego trójkąta jest równe \(15\). Bok \(BC\) jest zawarty w prostej o równaniu \(y = x + 1\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\).

**Krok 1: Wysokość opuszczona z A na ramię BC.** Podstawy nie znasz, więc pole rozpisujesz względem ramienia \(BC\). Wysokość na ten bok to odległość \(A\) od prostej \(x - y + 1 = 0\):

$$h = \frac{|-2 - 5 + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$$

**Krok 2: Długość ramienia z pola.**

$$15 = \frac{1}{2} \cdot |BC| \cdot 3\sqrt{2} \quad \Rightarrow \quad |BC| = \frac{30}{3\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$$

Skoro \(|AC| = |BC|\), to również \(|AC| = 5\sqrt{2}\), czyli \(|AC|^2 = 50\).

**Krok 3: Punkt C na prostej w zadanej odległości od A.** Punkt prostej \(y = x + 1\) ma postać \(C = (c, c + 1)\):

$$(c + 2)^2 + (c + 1 - 5)^2 = 50 \quad \Rightarrow \quad (c + 2)^2 + (c - 4)^2 = 50$$

$$2c^2 - 4c + 20 = 50 \quad \Rightarrow \quad c^2 - 2c - 15 = 0 \quad \Rightarrow \quad (c - 5)(c + 3) = 0$$

**Krok 4: Dwa położenia wierzchołka.** Dla \(c = 5\) jest \(C = (5, 6)\), dla \(c = -3\) jest \(C = (-3, -2)\). Kontrola drugiego: \(|AC|^2 = (-3 + 2)^2 + (-2 - 5)^2 = 1 + 49 = 50\). Treść nie wyklucza żadnego z nich, więc odpowiedzią są oba punkty.

**Odpowiedź:** \(C = (5, 6)\) lub \(C = (-3, -2)\).

## Przykład 4: Ten sam schemat i cztery pary wierzchołków B, C (matura rozszerzona maj 2022, zadanie 14)

**Treść:** Punkt \(A = (-3, 2)\) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC| = |BC|\). Pole tego trójkąta jest równe \(15\). Bok \(BC\) zawarty jest w prostej o równaniu \(y = x - 1\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(B\) i \(C\) tego trójkąta.

**Krok 1: Wysokość i długość ramienia.** Prosta \(BC\) w postaci ogólnej to \(x - y - 1 = 0\), więc

$$h = \frac{|-3 - 2 - 1|}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}, \qquad |BC| = \frac{2 \cdot 15}{3\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$$

Te same liczby co w zadaniu z 2010 roku: zmienił się tylko punkt \(A\) i wyraz wolny prostej.

**Krok 2: Wierzchołek C.** \(C = (c, c - 1)\) i \(|AC|^2 = 50\):

$$(c + 3)^2 + (c - 3)^2 = 50 \quad \Rightarrow \quad 2c^2 + 18 = 50 \quad \Rightarrow \quad c^2 = 16 \quad \Rightarrow \quad c = 4 \ \text{lub} \ c = -4$$

Czyli \(C = (4, 3)\) albo \(C = (-4, -5)\).

**Krok 3: Wierzchołek B na tej samej prostej.** \(B = (b, b - 1)\) leży na prostej \(BC\) w odległości \(5\sqrt{2}\) od \(C\):

$$(b - c)^2 + (b - c)^2 = 50 \quad \Rightarrow \quad (b - c)^2 = 25 \quad \Rightarrow \quad b = c + 5 \ \text{lub} \ b = c - 5$$

Dla \(C = (4, 3)\): \(B = (9, 8)\) lub \(B = (-1, -2)\). Dla \(C = (-4, -5)\): \(B = (1, 0)\) lub \(B = (-9, -10)\).

**Krok 4: Sprawdzenie pola.** Dla \(C = (4, 3)\) i \(B = (-1, -2)\): \(|BC| = \sqrt{25 + 25} = 5\sqrt{2}\), wysokość na \(BC\) to nadal \(3\sqrt{2}\), więc \(P = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 15\). Każda z czterech par daje ten sam wynik, bo \(B\) zawsze leży na tej samej prostej w tej samej odległości od \(C\).

**Odpowiedź:** Cztery trójkąty: \(C = (4, 3)\) z \(B = (9, 8)\) lub \(B = (-1, -2)\), oraz \(C = (-4, -5)\) z \(B = (1, 0)\) lub \(B = (-9, -10)\).

## Przykład 5: Okrąg wpisany i wierzchołek o ujemnych współrzędnych (matura rozszerzona maj 2018, zadanie 14)

**Treść:** Punkt \(A = (7, -1)\) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC| = |BC|\). Obie współrzędne wierzchołka \(C\) są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt \(ABC\) ma równanie \(x^2 + y^2 = 10\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(B\) i \(C\) tego trójkąta.

**Krok 1: Styczne z punktu A.** Boki \(AB\) i \(AC\) leżą na stycznych do okręgu o środku \(O = (0, 0)\) i promieniu \(\sqrt{10}\), przechodzących przez \(A\). Prosta \(y + 1 = m(x - 7)\), czyli \(mx - y - 7m - 1 = 0\), jest styczna, gdy jej odległość od \(O\) równa się promieniowi:

$$\frac{|-7m - 1|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{10} \quad \Rightarrow \quad (7m + 1)^2 = 10(m^2 + 1) \quad \Rightarrow \quad 39m^2 + 14m - 9 = 0$$

$$\Delta = 196 + 1404 = 1600, \quad m_1 = \frac{-14 + 40}{78} = \frac{1}{3}, \quad m_2 = \frac{-14 - 40}{78} = -\frac{9}{13}$$

Styczne: \(y = \frac{1}{3}x - \frac{10}{3}\), czyli \(x - 3y - 10 = 0\), oraz \(y = -\frac{9}{13}x + \frac{50}{13}\), czyli \(9x + 13y - 50 = 0\).

**Krok 2: Środek okręgu wpisanego leży na osi symetrii.** Środek okręgu wpisanego leży na dwusiecznej kąta \(ACB\), a w trójkącie równoramiennym ta dwusieczna to oś symetrii, czyli symetralna podstawy \(AB\). Zatem prosta \(OC\) jest prostopadła do \(AB\) i przechodzi przez \(O = (0, 0)\). Nie wiesz jeszcze, która styczna zawiera podstawę, więc rozpatrujesz oba przypadki.

**Krok 3: Przypadek pierwszy, podstawa na prostej x - 3y - 10 = 0.** Oś symetrii jest do niej prostopadła i przechodzi przez \(O\): \(y = -3x\). Wierzchołek \(C\) to jej przecięcie z drugą styczną \(9x + 13y - 50 = 0\):

$$9x - 39x - 50 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{5}{3}, \quad y = 5$$

Współrzędna \(y = 5\) jest dodatnia, więc ten przypadek odpada.

**Krok 4: Przypadek drugi, podstawa na prostej 9x + 13y - 50 = 0.** Oś symetrii: \(y = \frac{13}{9}x\). Przecięcie ze styczną \(x - 3y - 10 = 0\):

$$x - \frac{13}{3}x - 10 = 0 \quad \Rightarrow \quad -\frac{10}{3}x = 10 \quad \Rightarrow \quad x = -3, \quad y = -\frac{13}{3}$$

Obie współrzędne są ujemne, więc \(C = \left(-3, -\frac{13}{3}\right)\).

**Krok 5: Wierzchołek B jako odbicie A względem osi.** Środek podstawy \(S\) to przecięcie osi \(y = \frac{13}{9}x\) z prostą \(AB\):

$$9x + 13 \cdot \frac{13}{9}x - 50 = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{250}{9}x = 50 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{9}{5}, \quad y = \frac{13}{5}$$

\(S\) jest środkiem \(AB\), więc \(B = 2S - A = \left(\frac{18}{5} - 7, \frac{26}{5} + 1\right) = \left(-\frac{17}{5}, \frac{31}{5}\right)\).

**Krok 6: Kontrola ramion.** \(|AC|^2 = 10^2 + \left(\frac{10}{3}\right)^2 = \frac{1000}{9}\) oraz \(|BC|^2 = \left(\frac{2}{5}\right)^2 + \left(\frac{158}{15}\right)^2 = \frac{36}{225} + \frac{24964}{225} = \frac{25000}{225} = \frac{1000}{9}\). Ramiona równe, warunek o znakach spełniony.

**Odpowiedź:** \(B = \left(-\frac{17}{5}, \frac{31}{5}\right)\), \(C = \left(-3, -\frac{13}{3}\right)\).

## Typowe pułapki

**Pułapka:** Symetralna przez wierzchołek zamiast przez środek. Prosta prostopadła do \(AB\) poprowadzona przez \(A\) to nie symetralna, tylko prosta zawierająca wysokość z \(A\) (dokładnie taka pojawia się w zadaniu z czerwca 2016). Symetralna przechodzi przez środek \(S\) podstawy i tylko na niej leży \(C\).

**Pułapka 2:** Zgubiony drugi trójkąt. Równanie kwadratowe ma zwykle dwa pierwiastki, a każdy daje inne położenie \(C\): po przeciwnych stronach podstawy albo po dwóch stronach rzutu \(A\) na prostą ramienia. W maju 2022 pełna odpowiedź to cztery pary punktów. Odrzucasz rozwiązanie tylko wtedy, gdy przeczy treści, jak dodatnia współrzędna \(y\) wierzchołka w maju 2018.

**Pułapka 3:** Wysokość mylona z ramieniem. Gdy dana jest prosta zawierająca ramię \(BC\), odległość \(A\) od tej prostej to wysokość opuszczona na ramię, nie długość ramienia i nie wysokość z \(C\). Z pola liczysz wtedy \(|BC|\), a dopiero z warunku \(|AC| = |BC|\) szukasz \(C\).

**Pułapka 4:** Pole jako iloczyn boków. \(P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\) wymaga wysokości prostopadłej do wybranego boku. Iloczyn dwóch boków bez sinusa kąta między nimi to nie pole. Jeśli chcesz ominąć wysokość, użyj wzoru ze współrzędnych trzech wierzchołków (zestawienie masz w [8 wzorach na pole trójkąta](/pole-trojkata-matura-8-wzorow-heron-wspolrzedne)).

**Pułapka 5:** Znak w odległości punktu od prostej. Prostą najpierw zapisujesz w postaci ogólnej \(Ax + By + C = 0\). Dla \(y = x + 1\) jest to \(x - y + 1 = 0\), a nie \(x + y + 1 = 0\). Wartość bezwzględna w liczniku chroni przed znakiem wyniku, ale nie przed złym znakiem współczynnika.

**Uwaga:** Rachunki na ułamkach bez wspólnego mianownika. W zadaniu z 2016 roku równanie \(\frac{11}{5}x - \frac{6}{5} = \frac{19}{2}x - 45\) mnożysz stronami przez \(10\), zanim cokolwiek przeniesiesz. Współrzędne \(\left(-\frac{17}{5}, \frac{31}{5}\right)\) z 2018 roku są poprawne, choć wyglądają nieelegancko; brzydki wynik to nie sygnał błędu, sygnałem jest niespełniony warunek \(|AC| = |BC|\).

**Zapamiętaj:** Na końcu każdego zadania sprawdzasz trzy rzeczy: czy \(|AC| = |BC|\), czy pole albo inny warunek liczbowy się zgadza i czy wynik nie przeczy słownemu warunkowi z treści. Trzy podstawienia zajmują minutę i ratują punkty za końcowy wynik.

## Co musisz umieć

- Wyprowadzić równanie symetralnej odcinka ze środka i współczynnika prostej prostopadłej.
- Zapisać prostą w postaci ogólnej i policzyć odległość punktu od prostej.
- Z pola i wysokości wyznaczyć długość boku, a z warunku równych ramion ułożyć równanie kwadratowe.
- Znaleźć punkt przecięcia dwóch prostych, także z ułamkowymi współczynnikami.
- Wyznaczyć równania stycznych do okręgu przechodzących przez dany punkt.
- Wskazać, że środek okręgu wpisanego i opisanego leży na osi symetrii trójkąta równoramiennego.
- Znaleźć drugi wierzchołek podstawy jako odbicie pierwszego względem osi symetrii.
- Sprawdzić oba rozwiązania z warunkami z treści i odrzucić tylko te sprzeczne.

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Zadania poniżej używają tych samych narzędzi w innych figurach: środek okręgu przechodzącego przez dwa punkty leży na symetralnej ich odcinka (maj 2017), oś symetrii trapezu równoramiennego działa jak symetralna obu podstaw (czerwiec 2011), a w rombie odległość wierzchołka od przekątnej to połowa drugiej przekątnej (czerwiec 2019). Każde otwiera się na własnej stronie. Treści zadań są za darmo, a rozwiązania krok po kroku do zadań rozszerzonych odblokowuje [pakiet Premium+](/payment/checkout). Wszystkie zadania działu znajdziesz na stronie [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna), a mapę tematów rozszerzenia w [hubie matury rozszerzonej](/matura-rozszerzona) i we wpisie o [wymaganiach na maturze rozszerzonej 2027](/matura-rozszerzona-matematyka-2027-wymagania-tematy).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie z geometrii analitycznej (/losuj)

## Najczęstsze pytania o trójkąt równoramienny w układzie współrzędnych

### Jak wyznaczyć współrzędne wierzchołka C trójkąta równoramiennego?

Napisz równanie symetralnej podstawy \(AB\) (prosta przez środek \(S\), prostopadła do \(AB\)) i dołóż drugi warunek z treści. Jeśli ramię leży na danej prostej, \(C\) to punkt przecięcia symetralnej z tą prostą. Jeśli dane jest pole, policz wysokość \(h = \frac{2P}{|AB|}\) i znajdź na symetralnej punkt oddalony od \(S\) o \(h\); wyjdą dwa punkty, po jednym z każdej strony podstawy.

### Dlaczego w zadaniu o trójkącie równoramiennym wychodzą dwa rozwiązania?

Bo warunek \(|AC| = |BC|\) razem z polem albo z odległością prowadzi do równania kwadratowego, a wierzchołek \(C\) może leżeć po obu stronach podstawy (albo po obu stronach rzutu \(A\) na prostą ramienia). W maju 2010 były dwa punkty \(C\), w maju 2022 cztery pary \(B\) i \(C\). Rozwiązanie odrzucasz tylko wtedy, gdy przeczy warunkowi z treści, na przykład o znaku współrzędnych.

### Co zrobić, gdy dany jest wierzchołek A i prosta zawierająca ramię BC, a nie podstawa?

Policz odległość \(A\) od tej prostej: to wysokość opuszczona na ramię \(BC\). Z pola wyznacz \(|BC|\), a ponieważ \(|AC| = |BC|\), szukaj na prostej punktu \(C\) oddalonego od \(A\) o tę długość. Zapisz \(C\) jednym parametrem (na przykład \(C = (c, c + 1)\)) i rozwiąż równanie kwadratowe. Potem \(B\) leży na tej samej prostej w odległości \(|BC|\) od \(C\).

### Czy środek okręgu wpisanego w trójkąt równoramienny leży na symetralnej podstawy?

Tak. Środek okręgu wpisanego leży na dwusiecznej kąta między ramionami, a w trójkącie równoramiennym ta dwusieczna pokrywa się z wysokością, środkową i symetralną podstawy. To samo dotyczy środka okręgu opisanego, który jako punkt równo oddalony od \(A\) i \(B\) zawsze leży na symetralnej \(AB\). W zadaniu z maja 2018 ta własność daje prostą \(OC\) prostopadłą do podstawy.

### Jak sprawdzić, które z dwóch rozwiązań jest poprawne?

Podstaw każde do wszystkich warunków z treści: równość ramion, pole, przynależność do prostej i warunki słowne (znak współrzędnych, położenie w ćwiartce). Jeśli oba przechodzą, oba są odpowiedzią i oba zapisujesz. Odrzucenie poprawnego rozwiązania bez uzasadnienia kosztuje tyle samo co jego zgubienie.

### Ile punktów można dostać za takie zadanie na maturze rozszerzonej?

W arkuszach CKE zadania tego typu były warte \(5\) punktów (czerwiec 2016, zadanie 16; maj 2026, zadanie 9) albo \(6\) punktów (maj 2010, zadanie 7; maj 2018, zadanie 14; maj 2022, zadanie 14). Zapisuj więc każdy etap osobno: symetralną albo wysokość z pola, równanie kwadratowe i sprawdzenie obu rozwiązań z warunkami z treści.

### Czy zamiast symetralnej można użyć równania |AC| = |BC| wprost?

Tak. Zapisujesz \(C = (x, y)\), podnosisz obie odległości do kwadratu i porównujesz; kwadraty \(x^2\) i \(y^2\) się skracają i zostaje równanie liniowe, czyli dokładnie równanie symetralnej. Ta droga omija współczynnik kierunkowy, więc przydaje się, gdy podstawa jest pionowa albo gdy wolisz unikać ułamków w nachyleniu.