--- route: /trapez-prostokatny-wysokosc-ramie-kat-ostry-przekatne-zadania-matura title: Trapez prostokątny - wysokość, ramię skośne, kąt ostry i przekątne (zadania maturalne) description: Jak obliczyć wysokość, ramię skośne, kąt ostry i przekątne trapezu prostokątnego: jeden trójkąt pomocniczy, wzory i 5 zadań maturalnych krok po kroku. type: task_solution category: Planimetria tags: trapez prostokątny, wysokość trapezu prostokątnego, ramię trapezu prostokątnego, kąt ostry trapezu prostokątnego, przekątna trapezu prostokątnego, pole trapezu prostokątnego, obwód trapezu prostokątnego, trapez prostokątny zadania maturalne, tangens kąta ostrego trapezu, planimetria matura podstawowa author: Filip Maszota author_url: https://www.sprawnamatura.pl/blog/autor/filip-maszota published: 2026-10-02T07:19:21.057+00:00 updated: 2026-10-02T07:21:33.562+00:00 --- # Trapez prostokątny - wysokość, ramię skośne, kąt ostry i przekątne (zadania maturalne) Trapez prostokątny to trapez, w którym jedno ramię jest prostopadłe do obu podstaw, więc to ramię jest jednocześnie wysokością. Zadania z nim rozwiązujesz jednym ruchem: z końca krótszej podstawy opuszczasz drugą wysokość i dostajesz prostokąt oraz trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \(h\) i \(a - b\). Z tego trójkąta wynika ramię skośne \(c = \sqrt{h^2 + (a - b)^2}\) i tangens kąta ostrego \(\mathrm{tg}\,\beta = \frac{h}{a - b}\), a przekątne liczysz z twierdzenia Pitagorasa: \(\sqrt{b^2 + h^2}\) i \(\sqrt{a^2 + h^2}\). Na maturze trapez prostokątny pojawia się w zadaniach zamkniętych i otwartych. W [maju 2018](/exams/matura-maj-2018) (zadanie 17) trzeba było wyrazić długość ramienia przez podstawy przy kącie \(60^\circ\), w [czerwcu 2024](/exams/matura-czerwiec-2024) (zadanie 26) wskazać miarę kąta ostrego przy danych podstawach i wysokości, a w [próbnej maturze CKE z grudnia 2024](/exams/matura-probna-cke-grudzien-2024) (zadanie 24) obliczyć pole trapezu, w którym krótsza przekątna dzieli go na dwa trójkąty prostokątne. Wzory na pole każdego rodzaju trapezu zebrane są we wpisie [jak obliczyć pole trapezu](/jak-obliczyc-pole-trapezu-wzory-zadania-matura). Tutaj jest jedna figura i wszystko, o co pytają przy niej arkusze. ## Oznaczenia i jeden rysunek pomocniczy W całym wpisie trapez to \(ABCD\) z podstawami \(AB = a\) (dłuższa) i \(CD = b\) (krótsza). Kąty przy wierzchołkach \(A\) i \(D\) są proste, więc ramię \(AD = h\) jest wysokością. Drugie ramię \(BC = c\) jest skośne, a kąt ostry trapezu to \(\beta = \angle ABC\). Kąt przy \(C\) jest rozwarty i ma miarę \(180^\circ - \beta\), bo kąty przy jednym ramieniu trapezu sumują się do \(180^\circ\). Rysunek pomocniczy jest zawsze ten sam: z wierzchołka \(C\) opuść wysokość \(CE\) na podstawę \(AB\). Czworokąt \(AECD\) jest prostokątem, więc \(|AE| = b\) i \(|CE| = h\). Zostaje trójkąt prostokątny \(EBC\) o przyprostokątnych \(|CE| = h\) i \(|EB| = a - b\) oraz przeciwprostokątnej \(c\). Prawie każde zadanie o trapezie prostokątnym sprowadza się do tego trójkąta. ## Jak policzyć ramię skośne i kąt ostry Ramię skośne liczysz z [twierdzenia Pitagorasa](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania) w trójkącie \(EBC\), a kąt ostry z funkcji trygonometrycznych tego samego trójkąta. Przy kącie \(\beta\) przyprostokątna przyległa to \(a - b\), a przeciwległa to \(h\). Gdy znasz dwie z trzech wielkości \(h\), \(a - b\), \(c\) albo jedną z nich i kąt, trzecią wyliczysz od razu. Często dany jest kąt \(30^\circ\), \(45^\circ\) albo \(60^\circ\), a wtedy trójkąt \(EBC\) jest połówką trójkąta równobocznego albo połówką kwadratu. Zależności między bokami takich trójkątów masz we wpisie o [trójkątach 30-60-90 i 45-45-90](/trojkat-30-60-90-45-45-90-zaleznosci-bokow-matura). Przy innym kącie korzystasz z tangensa, sinusa albo cosinusa i z [tablicy wartości funkcji trygonometrycznych](/wartosci-funkcji-trygonometrycznych-tabela). ## Jak policzyć przekątne Każda przekątna trapezu prostokątnego jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, w którym jedną przyprostokątną jest wysokość \(h\). Krótsza przekątna \(AC\) leży w trójkącie \(ACD\) z kątem prostym przy \(D\), a dłuższa \(BD\) w trójkącie \(ABD\) z kątem prostym przy \(A\). Stąd \(|AC|^2 = b^2 + h^2\) i \(|BD|^2 = a^2 + h^2\). Osobny przypadek to trapez, w którym krótsza przekątna jest prostopadła do ramienia skośnego. Trójkąty \(ACD\) i \(BCA\) są wtedy prostokątne, pierwszy przy \(D\), drugi przy \(C\), i mają równe kąty \(\angle DCA = \angle CAB\), bo to kąty naprzemianległe przy równoległych podstawach. Są więc podobne, a z proporcji \(\frac{|CD|}{|AC|} = \frac{|AC|}{|AB|}\) wynika \(|AC|^2 = a \cdot b\). Więcej o podobieństwie przeczytasz we wpisie o [trójkątach podobnych](/trojkaty-podobne-matura-cechy-skala-zadania). Pole trapezu przy danych podstawach i wysokości policzysz też w kalkulatorze: Interaktywny kalkulator: pole-trapezu (dostępny na stronie wpisu) ## Wzory Ramię skośne z twierdzenia Pitagorasa: $$c^2 = h^2 + (a - b)^2$$ Tangens kąta ostrego: $$\mathrm{tg}\,\beta = \frac{h}{a - b}$$ Krótsza przekątna: $$|AC| = \sqrt{b^2 + h^2}$$ Dłuższa przekątna: $$|BD| = \sqrt{a^2 + h^2}$$ Pole trapezu prostokątnego: $$P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$$ Przekątna prostopadła do ramienia: $$|AC|^2 = a \cdot b$$ ## Przykład 1: Wysokość z kąta 45 stopni **Treść:** Podstawy trapezu prostokątnego mają długości \(13\) i \(7\), a jego kąt ostry ma miarę \(45^\circ\). Wysokość tego trapezu jest równa: - A) \(6\) - B) \(6\sqrt{2}\) - C) \(7\) - D) \(3\sqrt{2}\) **Krok 1: Policz różnicę podstaw.** To przyprostokątna \(EB\) w trójkącie pomocniczym: $$a - b = 13 - 7 = 6$$ **Krok 2: Skorzystaj z tangensa.** $$h = (a - b) \cdot \mathrm{tg}\,45^\circ = 6 \cdot 1 = 6$$ **Odpowiedź: A.** Trójkąt \(EBC\) jest połówką kwadratu, więc wysokość jest równa różnicy podstaw. Odpowiedź B to długość ramienia skośnego \(6\sqrt{2}\), a nie wysokość. ## Przykład 2: Pole i obwód z tangensa kąta ostrego **Treść:** Podstawy trapezu prostokątnego mają długości \(10\) i \(4\), a tangens jego kąta ostrego jest równy \(\frac{4}{3}\). Oblicz pole i obwód tego trapezu. **Krok 1: Różnica podstaw.** $$a - b = 10 - 4 = 6$$ **Krok 2: Wysokość z tangensa.** W trójkącie \(EBC\) tangens kąta ostrego to stosunek wysokości do różnicy podstaw: $$\frac{h}{6} = \frac{4}{3} \quad \Rightarrow \quad h = 8$$ **Krok 3: Ramię skośne.** $$c = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{100} = 10$$ **Krok 4: Pole i obwód.** $$P = \frac{(10 + 4) \cdot 8}{2} = 56$$ Obwód to suma wszystkich czterech boków: \(10 + 4 + 8 + 10 = 32\). **Odpowiedź:** pole jest równe \(56\), a obwód \(32\). Trójkąt pomocniczy ma boki \(6\), \(8\) i \(10\), czyli jest powiększonym dwa razy trójkątem o bokach \(3\), \(4\) i \(5\). ## Przykład 3: Przekątne, ramię i kąt ostry **Treść:** W trapezie prostokątnym \(ABCD\) kąty przy wierzchołkach \(A\) i \(D\) są proste, \(|AB| = 9\), \(|CD| = 4\) i \(|AD| = 12\). Oblicz długości obu przekątnych, długość ramienia \(BC\) oraz sinus kąta ostrego trapezu. **Krok 1: Krótsza przekątna AC.** Trójkąt \(ACD\) jest prostokątny przy \(D\): $$|AC| = \sqrt{4^2 + 12^2} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}$$ **Krok 2: Dłuższa przekątna BD.** Trójkąt \(ABD\) jest prostokątny przy \(A\): $$|BD| = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{225} = 15$$ **Krok 3: Ramię BC.** W trójkącie pomocniczym \(|EB| = 9 - 4 = 5\) i \(|CE| = 12\): $$|BC| = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{169} = 13$$ **Krok 4: Sinus kąta ostrego.** $$\sin\beta = \frac{|CE|}{|BC|} = \frac{12}{13}$$ **Odpowiedź:** \(|AC| = 4\sqrt{10}\), \(|BD| = 15\), \(|BC| = 13\), \(\sin\beta = \frac{12}{13}\). ## Przykład 4: Krótsza przekątna dzieli trapez na dwa trójkąty prostokątne **Treść:** W trapezie prostokątnym \(ABCD\) kąty przy wierzchołkach \(A\) i \(D\) są proste, dłuższa podstawa \(AB\) ma długość \(9\), a krótsza podstawa \(CD\) ma długość \(4\). Przekątna \(AC\) jest prostopadła do ramienia \(BC\). Oblicz pole tego trapezu i długość ramienia \(BC\). **Krok 1: Uzasadnij podobieństwo.** Trójkąt \(ACD\) jest prostokątny przy \(D\), a trójkąt \(BCA\) przy \(C\). Kąty \(DCA\) i \(CAB\) są naprzemianległe przy równoległych prostych \(CD\) i \(AB\), więc są równe. Trójkąty mają po dwa równe kąty, czyli są podobne. **Krok 2: Przekątna z proporcji.** $$\frac{|CD|}{|AC|} = \frac{|AC|}{|AB|} \quad \Rightarrow \quad |AC|^2 = 4 \cdot 9 = 36, \quad |AC| = 6$$ **Krok 3: Wysokość z trójkąta ACD.** $$h = |AD| = \sqrt{6^2 - 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$ **Krok 4: Pole i ramię.** Ramię \(BC\) liczysz z trójkąta prostokątnego \(BCA\): $$P = \frac{(9 + 4) \cdot 2\sqrt{5}}{2} = 13\sqrt{5}, \qquad |BC| = \sqrt{9^2 - 6^2} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$$ **Odpowiedź:** \(P = 13\sqrt{5}\), \(|BC| = 3\sqrt{5}\). Kontrola wzorem na ramię skośne: \(h^2 + (a - b)^2 = 20 + 25 = 45\), czyli to samo \(3\sqrt{5}\). ## Przykład 5: Pole z ramienia skośnego i kąta **Treść:** W trapezie prostokątnym ramię skośne ma długość \(8\) i tworzy z dłuższą podstawą kąt \(60^\circ\). Krótsza podstawa ma długość \(5\). Oblicz pole tego trapezu. **Krok 1: Rozłóż ramię na dwie przyprostokątne.** W trójkącie \(EBC\) przeciwprostokątną jest ramię \(c = 8\): $$|EB| = 8 \cos 60^\circ = 4, \qquad h = 8 \sin 60^\circ = 4\sqrt{3}$$ **Krok 2: Dłuższa podstawa.** $$a = b + |EB| = 5 + 4 = 9$$ **Krok 3: Pole.** $$P = \frac{(9 + 5) \cdot 4\sqrt{3}}{2} = 28\sqrt{3}$$ **Odpowiedź:** \(P = 28\sqrt{3}\). Gdy dane jest ramię skośne i kąt, zawsze zaczynasz od rozłożenia ramienia na wysokość i różnicę podstaw. ## Sprawdź się na zadaniach z arkuszy Dwa zadania otwarte z arkuszy. Pierwsze to przykład 4 z innymi danymi: zamiast krótszej podstawy znasz długość przekątnej. Drugie to przykład 2 z innym tangensem i innymi podstawami. Zadanie z bazy: /task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-24 Zadanie z bazy: /task/matura-pr-bna-marzec-2012-1-24 ## Typowe pułapki **Pułapka:** Ramię skośne jako wysokość. Wysokością trapezu prostokątnego jest tylko ramię prostopadłe do podstaw. Ramię skośne jest zawsze dłuższe od wysokości, bo jest przeciwprostokątną trójkąta pomocniczego. **Pułapka 2:** Cała dłuższa podstawa w trójkącie pomocniczym. Przyprostokątną przy kącie ostrym jest różnica podstaw \(a - b\), a nie \(a\). Błąd wychodzi zwykle przy tangensie: \(\frac{h}{a}\) zamiast \(\frac{h}{a - b}\). **Pułapka 3:** Pomylone przekątne. Krótsza przekątna łączy \(A\) z \(C\) i ma przyprostokątne \(b\) i \(h\). Dłuższa łączy \(B\) z \(D\) i ma przyprostokątne \(a\) i \(h\). **Pułapka 4:** Kąt rozwarty zamiast ostrego. Kąt przy wierzchołku \(C\) ma miarę \(180^\circ - \beta\). Gdy zadanie pyta o kąt rozwarty trapezu, odejmij kąt ostry od \(180^\circ\). **Wskazówka:** Narysuj trapez tak, żeby ramię prostopadłe stało po lewej stronie, a dłuższa podstawa leżała na dole. Wtedy trójkąt pomocniczy jest zawsze po prawej i od razu widać, który odcinek jest różnicą podstaw. ## Co musisz umieć - Opuścić drugą wysokość z końca krótszej podstawy i nazwać boki trójkąta pomocniczego. - Policzyć ramię skośne z twierdzenia Pitagorasa przy danych podstawach i wysokości. - Wyznaczyć wysokość albo różnicę podstaw z kąta ostrego i ramienia skośnego. - Odczytać kąt ostry z tangensa, sinusa albo cosinusa w trójkącie pomocniczym. - Policzyć obie przekątne i odróżnić krótszą od dłuższej. - Wykorzystać podobieństwo trójkątów, gdy przekątna jest prostopadła do ramienia. ## Poćwicz na zadaniach z bazy Poniżej zadania z trapezem prostokątnym z arkuszy maturalnych: zamknięte z kątem ostrym i otwarte z przekątnymi. Wszystkie zadania z geometrii płaskiej znajdziesz na stronie [planimetria](/topics/planimetria), a trapez równoramienny omawia wpis o [trapezie równoramiennym](/trapez-rownoramienny-wlasnosci-katy-przekatne-zadania-matura). Gdy zadanie pyta o stosunek odcinków przekątnych albo o pola trójkątów, przyda się wpis o [przekątnych trapezu i trójkątach podobnych](/przekatne-trapezu-trojkaty-podobne-pola-trojkatow-matura). Następny krok: Losuj kolejne zadanie z planimetrii (/losuj) ## Najczęstsze pytania ### Co to jest trapez prostokątny? To trapez, w którym jedno z ramion jest prostopadłe do obu podstaw. Ma dwa kąty proste przy tym ramieniu, jeden kąt ostry i jeden rozwarty. Ramię prostopadłe jest jednocześnie wysokością trapezu. ### Jak obliczyć wysokość trapezu prostokątnego? Wysokością jest ramię prostopadłe do podstaw, więc często masz ją wprost w treści. Jeśli nie, policz ją z trójkąta pomocniczego: \(h = (a - b) \cdot \mathrm{tg}\,\beta\) przy danym kącie ostrym albo \(h = \sqrt{c^2 - (a - b)^2}\) przy danym ramieniu skośnym. ### Jak obliczyć ramię trapezu prostokątnego? Ramię skośne to przeciwprostokątna trójkąta o przyprostokątnych \(h\) i \(a - b\), więc \(c = \sqrt{h^2 + (a - b)^2}\). Przy danym kącie ostrym \(\beta\) możesz też skorzystać z równości \(c = \frac{a - b}{\cos\beta}\). ### Jak obliczyć przekątną trapezu prostokątnego? Każda przekątna jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, w którym jedną przyprostokątną jest wysokość. Krótsza ma długość \(\sqrt{b^2 + h^2}\), dłuższa \(\sqrt{a^2 + h^2}\), gdzie \(a\) i \(b\) to podstawy. ### Czy trapez prostokątny może być równoramienny? Nie, jeśli jego podstawy mają różne długości. W trapezie równoramiennym kąty przy dłuższej podstawie są równe, a w prostokątnym jeden z nich jest prosty, a drugi ostry. Czworokąt z kątami prostymi przy obu końcach dłuższej podstawy jest już prostokątem. ### Jak obliczyć kąt ostry trapezu prostokątnego? Policz tangens z trójkąta pomocniczego: \(\mathrm{tg}\,\beta = \frac{h}{a - b}\). Dla tangensa równego \(1\) kąt ma \(45^\circ\), dla \(\sqrt{3}\) ma \(60^\circ\), a dla \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) ma \(30^\circ\). Przy innych wartościach kąt odczytujesz z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych.