--- route: /topics/liczby-rzeczywiste title: Liczby rzeczywiste - zadania maturalne description: Zadania maturalne z kategorii Liczby rzeczywiste --- # Liczby rzeczywiste - zadania maturalne z matematyki Liczba zadań w tej kategorii: **74** ## Lista zadań - [Zadanie cke-2015-2023-pp-52](https://www.sprawnamatura.pl/task/cke-2015-2023-pp-52) (CKE 2015-2023 PP, 4 pkt): Oblicz sumę wszystkich parzystych liczb całkowitych dodatnich nie większych od \(1000\) i niepodzielnych przez \(3\).... - [Zadanie cke-2015-2023-pp-122](https://www.sprawnamatura.pl/task/cke-2015-2023-pp-122) (CKE 2015-2023 PP, 1 pkt): Dany jest zbiór \(A=\{1,2,...,2n,2n+1\}\), gdzie \(n\ge 1\), złożony z \(2n+1\) kolejnych liczb naturalnych. Wykaż, że l... - [Zadanie cke-2023-pp-15](https://www.sprawnamatura.pl/task/cke-2023-pp-15) (CKE 2023 PP, 3 pkt): Rozważmy dwie kolejne liczby naturalne \(a\) i \(b\) takie, że obie są niepodzielne przez \(3\). Udowodnij, że liczba \(... - [Zadanie cke-2023-pp-14](https://www.sprawnamatura.pl/task/cke-2023-pp-14) (CKE 2023 PP, 2 pkt): Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) liczba \(20n^2+30n+7\) przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(2\).... - [Zadanie cke-2025-pp-05](https://www.sprawnamatura.pl/task/cke-2025-pp-05) (CKE 2025 PP, 2 pkt): Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\) liczba \(n\left(n^2+3 n+2\right)\) jest podzielna przez \(6\).... - [Zadanie cke-2025-pp-04](https://www.sprawnamatura.pl/task/cke-2025-pp-04) (CKE 2025 PP, 3 pkt): Rozważmy dwie kolejne liczby naturalne \(a\) i \(b\) takie, że \(a\lt b\) oraz obie są niepodzielne przez \(3\). Udowodn... - [Zadanie cke-2025-pp-03](https://www.sprawnamatura.pl/task/cke-2025-pp-03) (CKE 2025 PP, 2 pkt): Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej \(n\) liczba \((3 n+5)^2+11 n^2-18\) przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \... - [Zadanie cke-pp-treningowe-40](https://www.sprawnamatura.pl/task/cke-pp-treningowe-40) (CKE PP treningowe, 1 pkt): Liczba sposobów, na jakie Ala i Bartek mogą usiąść na dwóch spośród pięciu miejsc w kinie, jest równa... - [Zadanie cke-pp-treningowe-98](https://www.sprawnamatura.pl/task/cke-pp-treningowe-98) (CKE PP treningowe, 5 pkt): Uczeń przeczytał książkę liczącą \(480\) stron, przy czym każdego dnia czytał taką samą liczbę stron. Gdyby czytał każde... - [Zadanie cke-pp-treningowe-95](https://www.sprawnamatura.pl/task/cke-pp-treningowe-95) (CKE PP treningowe, 5 pkt): Oblicz sumę wszystkich liczb trzycyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr wybranych ze zbioru \(\{0,1,2,3\}\).... - [Zadanie cke-pp-treningowe-106](https://www.sprawnamatura.pl/task/cke-pp-treningowe-106) (CKE PP treningowe, 5 pkt): Udowodnij, że jeśli: a) \(x, y\) są liczbami rzeczywistymi, to \(x^2 + y^2 \ge 2xy\). b) \(x, y, z\) są liczbami rzeczyw... - [Zadanie cke-pp-treningowe-39](https://www.sprawnamatura.pl/task/cke-pp-treningowe-39) (CKE PP treningowe, 1 pkt): Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, których obie cyfry są mniejsze od \(5\) jest... - [Zadanie cke-pp-treningowe-38](https://www.sprawnamatura.pl/task/cke-pp-treningowe-38) (CKE PP treningowe, 1 pkt): Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, które są podzielne przez \(6\) lub przez \(10\), jest... - [Zadanie matura-czerwiec-2012-29](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2012-29) (Matura czerwiec 2012, 2 pkt): Uzasadnij, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych przy dzieleniu przez \(3\) daje resztę \(2\).... - [Zadanie matura-czerwiec-2013-33](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2013-33) (Matura czerwiec 2013, 5 pkt): Grupa znajomych wykupiła wspólnie dostęp do Internetu na okres jednego roku. Opłata miesięczna wynosiła \(120\) złotych.... - [Zadanie matura-czerwiec-2013-30](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2013-30) (Matura czerwiec 2013, 2 pkt): Wykaż, że liczba \((1+2013^2)(1+2013^4)\) jest dzielnikiem liczby: \(1+2013+2013^2+2013^3+2013^4+2013^5+2013^6+2013^7\).... - [Zadanie matura-czerwiec-2016-01](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2016-01) (Matura czerwiec 2016, 1 pkt): Liczba \(\frac{7^6\cdot 6^7}{42^6}\) jest równa... - [Zadanie matura-czerwiec-2016-19](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2016-19) (Matura czerwiec 2016, 1 pkt): Do pewnej liczby \(a\) dodano \(54\). Otrzymaną sumę podzielono przez \(2\). W wyniku tego działania otrzymano liczbę dw... - [Zadanie matura-czerwiec-2016-15](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2016-15) (Matura czerwiec 2016, 1 pkt): Słoń waży \(5\) ton, a waga mrówki jest równa \(0{,}5\) grama. Ile razy słoń jest cięższy od mrówki?... - [Zadanie matura-czerwiec-2017-01](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2017-01) (Matura czerwiec 2017, 1 pkt): Liczba \(|9-2|-|4-7|\) jest równa... - [Zadanie matura-czerwiec-2018-28](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2018-28) (Matura czerwiec 2018, 2 pkt): Wykaż, że reszta z dzielenia sumy kwadratów czterech kolejnych liczb naturalnych przez \(8\) jest równa \(6\).... - [Zadanie matura-czerwiec-2018-05](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2018-05) (Matura czerwiec 2018, 1 pkt): Na rysunku przedstawiony jest przedział \((-10,k\rangle \), gdzie k jest liczbą całkowitą. Suma wszystkich liczb całkowi... - [Zadanie matura-czerwiec-2018-24](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2018-24) (Matura czerwiec 2018, 1 pkt): Liczba wszystkich dodatnich liczb czterocyfrowych parzystych, w których zapisie nie występują cyfry \(0\) i \(2\), jest ... - [Zadanie matura-czerwiec-2019-21](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2019-21) (Matura czerwiec 2019, 1 pkt): Liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez \(6\) jest... - [Zadanie matura-czerwiec-2019-27](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2019-27) (Matura czerwiec 2019, 2 pkt): Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste \(x\), które spełniają warunek: \(\frac{3x^2-8x-3}{x-3}=x-3\).... - [Zadanie matura-czerwiec-2023-03](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2023-03) (Matura czerwiec 2023, 2 pkt): Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej \(k\) reszta z dzielenia liczby \(49k^2+7k-2\) przez \(7\) jest równa \(5\).... - [Zadanie matura-czerwiec-2024-40](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2024-40) (Matura czerwiec 2024, 2 pkt): Właściciel sklepu z zabawkami przeprowadził lokalne badanie rynkowe dotyczące wpływu zmiany ceny zestawu klocków na licz... - [Zadanie matura-czerwiec-2025-05](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2025-05) (Matura czerwiec 2025, 3 pkt): Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej \(a\), która przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(1\), i dla każdej liczby ca... - [Zadanie matura-maj-2014-28](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-maj-2014-28) (Matura maj 2014, 2 pkt): Udowodnij, że każda liczba całkowita \( k \), która przy dzieleniu przez \( 7 \) daje resztę \( 2 \) ma tę własność, że ... - [Zadanie matura-maj-2019-24](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-maj-2019-24) (Matura maj 2019, 1 pkt): Wszystkich liczb pięciocyfrowych, w których występują wyłącznie cyfry \(0\), \(2\), \(5\), jest... ... i 44 więcej zadań na https://www.sprawnamatura.pl/topics/liczby-rzeczywiste