---
route: /task/pr-matura-rozszerzona-probna-cke-grudzien-2024-13
title: Zadanie pr-matura-rozszerzona-probna-cke-grudzien-2024-13
source: Matura rozszerzona próbna CKE grudzień 2024
category: Rachunek różniczkowy
points: 6
type: open
---

# Zadanie pr-matura-rozszerzona-probna-cke-grudzien-2024-13

**Źródło:** Matura rozszerzona próbna CKE grudzień 2024
**Kategoria:** Rachunek różniczkowy
**Punkty:** 6
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = \dfrac{12x - 84}{x - 8}\) dla każdego \(x \in (-\infty, 8)\).
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) rozważamy wszystkie czworokąty \(OBCD\), w których:
- wierzchołek \(O\) ma współrzędne \((0, 0)\)
- wierzchołki \(B\) oraz \(D\) są punktami przecięcia wykresu funkcji \(f\) z osią - odpowiednio - \(Ox\) i \(Oy\)
- wierzchołek \(C\) ma obie współrzędne dodatnie i leży na wykresie funkcji \(f\)

(zobacz rysunek).

**13.1.** Wykaż, że pole \(P\) czworokąta \(OBCD\) w zależności od pierwszej współrzędnej \(x\) punktu \(C\) jest określone wzorem
\[P(x) = \frac{21}{4} \cdot \frac{x^2 - 56}{x - 8}\]

**13.2.** Pole \(P\) czworokąta \(OBCD\) w zależności od pierwszej współrzędnej \(x\) punktu \(C\) jest określone wzorem
\[P(x) = \frac{21}{4} \cdot \frac{x^2 - 56}{x - 8}\]
dla \(x \in (0, 7)\).

Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\), dla których pole czworokąta \(OBCD\) jest największe. Zapisz obliczenia.

## Rysunki

![Rysunek do zadania](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/figures/pr-matura-rozszerzona-probna-cke-grudzien-2024-13-question-0.png)

**Prawidłowa odpowiedź:** 13.1) \(P = \frac{21}{4} \cdot \frac{x^2 - 56}{x - 8}\), gdzie \(x \in (0, 7)\)
13.2) \(C = (8 - 2\sqrt{2},\, 12 - 3\sqrt{2})\)

## Wzór

Nowa formuła

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/rachunek-rozniczkowy
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-rozszerzona-probna-cke-grudzien-2024