---
route: /task/pr-matura-rozszerzona-pokazowa-marzec-2022-6
title: Zadanie pr-matura-rozszerzona-pokazowa-marzec-2022-6
source: Matura rozszerzona pokazowa marzec 2022
category: Rachunek różniczkowy
points: 8
type: open
---

# Zadanie pr-matura-rozszerzona-pokazowa-marzec-2022-6

**Źródło:** Matura rozszerzona pokazowa marzec 2022
**Kategoria:** Rachunek różniczkowy
**Punkty:** 8
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym postanowiono stworzyć tor regatowy. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej jeziora w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) za pomocą fragmentów wykresów funkcji \(f\) oraz \(g\) (zobacz rysunek). Funkcje \(f\) oraz \(g\) są określone wzorami \(f(x) = x^2\) oraz \(g(x) = -\dfrac{1}{2}\left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 + 4\).

Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu jeziora w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt \(P = (-1, 1)\).

**6.1.** Niech \(R\) będzie punktem leżącym na wykresie funkcji \(g\).

Wykaż, że odległość punktu \(R\) od punktu \(P\) wyraża się wzorem
\[|PR| = \sqrt{\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^3 - \frac{13}{8}x^2 + \frac{39}{8}x + \frac{593}{64}}\]
gdzie \(x\) jest pierwszą współrzędną punktu \(R\).

**6.2.** Koniec toru regatowego należy umieścić na linii brzegowej.

Oblicz współrzędne punktu \(K\), w którym należy zlokalizować koniec toru, aby długość toru (tj. odległość końca \(K\) toru od początku \(P\)) była możliwie największa. Oblicz długość najdłuższego toru.

Zapisz obliczenia.

*Wskazówka.*
*Przy rozwiązywaniu zadania możesz skorzystać z tego, że odległość dowolnego punktu \(R\) leżącego na wykresie funkcji \(g\) od punktu \(P\) wyraża się wzorem*
\[|PR| = \sqrt{\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^3 - \frac{13}{8}x^2 + \frac{39}{8}x + \frac{593}{64}}\]
*gdzie \(x\) jest pierwszą współrzędną punktu \(R\).*

## Rysunki

![Rysunek do zadania](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/figures/pr-matura-rozszerzona-pokazowa-marzec-2022-6-question-0.png)

**Prawidłowa odpowiedź:** 6.1) \(|PR| = \sqrt{\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^3 - \frac{13}{8}x^2 + \frac{39}{8}x + \frac{593}{64}}\)
6.2) \(K = \left(\frac{3}{2}, \frac{7}{2}\right)\), \(|PK| = \frac{5\sqrt{2}}{2}\)

## Wzór

Nowa formuła

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/rachunek-rozniczkowy
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-rozszerzona-pokazowa-marzec-2022