---
route: /task/pr-matura-rozszerzona-maj-2026-12
title: Zadanie pr-matura-rozszerzona-maj-2026-12
source: Matura rozszerzona maj 2026
category: Rachunek różniczkowy
points: 7
type: open
---

# Zadanie pr-matura-rozszerzona-maj-2026-12

**Źródło:** Matura rozszerzona maj 2026
**Kategoria:** Rachunek różniczkowy
**Punkty:** 7
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W projekcie ogrodu zaplanowano kwietnik w kształcie trójkąta równoramiennego o podstawie długości \(x\) metrów nieprzekraczającej \(10\) metrów. Na tym kwietniku ma znajdować się fontanna w kształcie koła o średnicy \(4\) metrów, które ma być styczne do każdego z boków trójkątnego kwietnika (zobacz rysunek). Projektantowi zależy, aby przy tak ustalonej wielkości fontanny pole tego kwietnika było najmniejsze.

**12.1.** Wykaż, że pole \(P\) (wyrażone w metrach kwadratowych) trójkątnego kwietnika o podstawie długości \(x\) metrów jest określone wzorem
\[P(x) = \frac{2x^3}{x^2 - 16}\]

**12.2.** Pole \(P\) trójkątnego kwietnika o podstawie długości \(x\) metrów jest określone wzorem
\[P(x) = \frac{2x^3}{x^2 - 16}\]
dla każdego \(x \in (4, 10]\).

Wyznacz długość \(x\) podstawy trójkątnego kwietnika, dla której pole tego kwietnika jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole. Zapisz obliczenia.

## Rysunki

![Rysunek do zadania](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/figures/pr-matura-rozszerzona-maj-2026-12-question-0.png)

**Prawidłowa odpowiedź:** 12.1) Dowód
12.2) Funkcja \(P\) przyjmuje wartość najmniejszą dla \(x = 4\sqrt{3}\), \(P(4\sqrt{3}) = 12\sqrt{3}\)

## Wzór

Nowa formuła

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/rachunek-rozniczkowy
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-rozszerzona-maj-2026