---
route: /task/pr-matura-rozszerzona-maj-2025-12
title: Zadanie pr-matura-rozszerzona-maj-2025-12
source: Matura rozszerzona maj 2025
category: Rachunek różniczkowy
points: 6
type: open
---

# Zadanie pr-matura-rozszerzona-maj-2025-12

**Źródło:** Matura rozszerzona maj 2025
**Kategoria:** Rachunek różniczkowy
**Punkty:** 6
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Rozważamy wszystkie stożki, których wysokość jest większa od \(5\), a odległość środka podstawy od tworzącej jest równa \(5\).

**12.1.** Wykaż, że objętość \(V\) stożka, jako funkcja wysokości \(h\) stożka, wyraża się wzorem
\[V(h) = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{25h^3}{h^2 - 25}\]

**12.2.** Objętość \(V\) stożka, jako funkcja wysokości \(h\) stożka, wyraża się wzorem
\[V(h) = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{25h^3}{h^2 - 25}\]
dla \(h \in (5, +\infty)\).

Wyznacz wysokość tego z rozważanych stożków, którego objętość jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą objętość. Zapisz obliczenia.

**Prawidłowa odpowiedź:** 12.1) Dowód
12.2) \(h = 5\sqrt{3}\), \(V(5\sqrt{3}) = \frac{125\sqrt{3}\pi}{2}\)

## Wzór

Nowa formuła

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/rachunek-rozniczkowy
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-rozszerzona-maj-2025