---
route: /task/pr-matura-rozszerzona-maj-2024-formula-2023-13
title: Zadanie pr-matura-rozszerzona-maj-2024-formula-2023-13
source: Matura rozszerzona maj 2024 (formuła 2023)
category: Stereometria
points: 6
type: open
---

# Zadanie pr-matura-rozszerzona-maj-2024-formula-2023-13

**Źródło:** Matura rozszerzona maj 2024 (formuła 2023)
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 6
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości \(3456\), których krawędź podstawy ma długość nie większą niż \(8\sqrt{3}\).

**13.1.** Wykaż, że pole \(P\) powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości \(a\) krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem
\[P(a) = \frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{2} + \frac{13824\sqrt{3}}{a}\]

**13.2.** Pole \(P\) powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości \(a\) krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem
\[P(a) = \frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{2} + \frac{13824\sqrt{3}}{a}\]
dla \(a \in (0, 8\sqrt{3}\,]\).

Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole. Zapisz obliczenia.

**Prawidłowa odpowiedź:** 13.1) Dowód
13.2) \(a = 8\sqrt{3}\), \(P_{\min} = 96\sqrt{3} + 1728\)

## Wzór

Nowa formuła

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-rozszerzona-maj-2024-formula-2023