---
route: /task/pr-matura-rozszerzona-maj-2024-formula-2015-16
title: Zadanie pr-matura-rozszerzona-maj-2024-formula-2015-16
source: Matura rozszerzona maj 2024 (formuła 2015)
category: Rachunek różniczkowy
points: 6
type: open
---

# Zadanie pr-matura-rozszerzona-maj-2024-formula-2015-16

**Źródło:** Matura rozszerzona maj 2024 (formuła 2015)
**Kategoria:** Rachunek różniczkowy
**Punkty:** 6
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości \(3456\), których krawędź podstawy ma długość nie większą niż \(8\sqrt{3}\).

a) Wykaż, że pole \(P\) powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości \(a\) krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem

\[P(a) = \frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{2} + \frac{13824\sqrt{3}}{a}\]

b) Pole \(P\) powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości \(a\) krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem

\[P(a) = \frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{2} + \frac{13824\sqrt{3}}{a}\]

dla \(a \in (0, 8\sqrt{3} \rangle\).

Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.

**Prawidłowa odpowiedź:** 16.1) Dowód
16.2) \(a = 8\sqrt{3}\), \(P\left(8\sqrt{3}\right) = 96\sqrt{3} + 1728\)

## Wzór

Formuła 2015

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/rachunek-rozniczkowy
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-rozszerzona-maj-2024-formula-2015