---
route: /task/pr-matura-rozszerzona-maj-2023-formula-2015-11
title: Zadanie pr-matura-rozszerzona-maj-2023-formula-2015-11
source: Matura rozszerzona maj 2023 (formuła 2015)
category: Ciągi
points: 4
type: open
---

# Zadanie pr-matura-rozszerzona-maj-2023-formula-2015-11

**Źródło:** Matura rozszerzona maj 2023 (formuła 2015)
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Określamy kwadraty \(K_1\), \(K_2\), \(K_3\), ... następująco:

- \(K_1\) jest kwadratem o boku długości \(a\)
- \(K_2\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_1\) i dzieli ten bok w stosunku \(1 : 3\)
- \(K_3\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_2\) i dzieli ten bok w stosunku \(1 : 3\)

i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 2\),

- \(K_n\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_{n-1}\) i dzieli ten bok w stosunku \(1 : 3\).

Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny.

Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu.

## Rysunki

![Rysunek do zadania](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/figures/pr-matura-rozszerzona-maj-2023-formula-2015-11-question-0.png)

**Prawidłowa odpowiedź:** \(L = 4a \cdot \frac{1}{1 - \frac{\sqrt{10}}{4}} = \frac{4a}{1 - \frac{\sqrt{10}}{4}} = \frac{8 \cdot \left(4 + \sqrt{10}\right) a}{3}\)

## Wzór

Formuła 2015

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-rozszerzona-maj-2023-formula-2015