---
route: /task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2026-13
title: Zadanie pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2026-13
source: Matura rozszerzona czerwiec 2026
category: Geometria analityczna
points: 6
type: open
---

# Zadanie pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2026-13

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2026
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 6
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C = (0, 0)\), wierzchołek \(B\) leży na dodatniej półosi \(Oy\), wierzchołek \(A\) leży na dodatniej półosi \(Ox\), natomiast bok \(AB\) jest zawarty w prostej przechodzącej przez punkt \(K = (1, 2)\).

**13.1.** Wykaż, że pole \(P\) trójkąta \(ABC\) w zależności od współczynnika kierunkowego \(a\) prostej \(AB\) jest określone wzorem

\[P(a) = \frac{-a^2 + 4a - 4}{2a}\]

**13.2.** Pole \(P\) trójkąta \(ABC\) w zależności od współczynnika kierunkowego \(a\) prostej \(AB\) jest określone wzorem

\[P(a) = \frac{-a^2 + 4a - 4}{2a}\]

dla \(a < 0\).

Wyznacz równanie prostej zawierającej przeciwprostokątną \(AB\) tego z rozważanych trójkątów, który ma najmniejsze pole. Zapisz obliczenia.

**Prawidłowa odpowiedź:** 13.1) Dowód
13.2) \(a = -2\), prosta \(AB\): \(y = -2x + 4\)

## Wzór

Nowa formuła

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-rozszerzona-czerwiec-2026