---
route: /task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2024-formula-2023-13
title: Zadanie pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2024-formula-2023-13
source: Matura rozszerzona czerwiec 2024 (formuła 2023)
category: Rachunek różniczkowy
points: 6
type: open
---

# Zadanie pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2024-formula-2023-13

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2024 (formuła 2023)
**Kategoria:** Rachunek różniczkowy
**Punkty:** 6
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Rozważamy wszystkie ostrosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma wysokości \(H\) ostrosłupa oraz promienia \(R\) okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa jest równa \(6\).

**13.1.** Wykaż, że objętość \(V\) każdego z takich ostrosłupów w zależności od długości \(R\) promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa jest określona wzorem

\[V(R) = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (6R^2 - R^3)\]

**13.2.** Objętość \(V\) ostrosłupa w zależności od długości \(R\) promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa jest określona wzorem

\[V(R) = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (6R^2 - R^3)\]

dla \(R \in (0, 6)\).

Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na podstawie tego z rozważanych ostrosłupów, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość. Zapisz obliczenia.

**Prawidłowa odpowiedź:** 13.1) Dowód
13.2) \(R = 4\), \(V_{\max} = 8\sqrt{3}\)

## Wzór

Nowa formuła

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/rachunek-rozniczkowy
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-rozszerzona-czerwiec-2024-formula-2023