---
route: /task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2023-formula-2023-13
title: Zadanie pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2023-formula-2023-13
source: Matura rozszerzona czerwiec 2023 (formuła 2023)
category: Rachunek różniczkowy
points: 6
type: open
---

# Zadanie pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2023-formula-2023-13

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2023 (formuła 2023)
**Kategoria:** Rachunek różniczkowy
**Punkty:** 6
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne \(ABCDEFGH\), w których odcinek łączący punkt \(O\) przecięcia przekątnych \(AC\) i \(BD\) podstawy \(ABCD\) z dowolnym wierzchołkiem podstawy \(EFGH\) ma długość \(d\) (zobacz rysunek).

a) Wyznacz zależność objętości \(V\) graniastosłupa od jego wysokości \(h\) i podaj dziedzinę funkcji \(V(h)\).

b) Wyznacz wysokość tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa.

Zapisz obliczenia.

## Rysunki

![Rysunek do zadania](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/figures/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2023-formula-2023-13-question-0.png)

**Prawidłowa odpowiedź:** \(V(h) = 2(d^2 - h^2) \cdot h = 2(d^2h - h^3)\) dla \(0 < h < d\); spośród rozważanych graniastosłupów największą objętość ma graniastosłup o wysokości \(h = \frac{d}{\sqrt{3}}\)

## Wzór

Nowa formuła

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/rachunek-rozniczkowy
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-rozszerzona-czerwiec-2023-formula-2023