---
route: /task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2022-15
title: Zadanie pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2022-15
source: Matura rozszerzona czerwiec 2022
category: Rachunek różniczkowy
points: 7
type: open
---

# Zadanie pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2022-15

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2022
**Kategoria:** Rachunek różniczkowy
**Punkty:** 7
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne ostrokątne \(ABC\) (\(|AC|=|BC|\)), na których opisano okrąg o promieniu \(R=1\). Niech \(x\) oznacza odległość środka okręgu od podstawy \(AB\) trójkąta.

a) Wykaż, że pole \(P\) każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości \(x\), wyraża się wzorem \(P(x) = (x+1)\cdot\sqrt{1-x^2}\).

b) Wyznacz dziedzinę funkcji \(P\).

c) Oblicz długość odcinka \(x\) tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole. Oblicz to największe pole.

**Prawidłowa odpowiedź:** 15.a) \(P(x) = (x+1)\cdot\sqrt{1-x^2}\)
15.b) Dziedziną funkcji \(P\) jest przedział \((0,1)\)
15.c) Największe pole trójkąta wynosi \(P_{\max} = \dfrac{3\sqrt{3}}{4}\), osiągane dla \(x = \frac{1}{2}\) (trójkąt równoboczny)

## Wzór

Formuła 2015

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/rachunek-rozniczkowy
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-rozszerzona-czerwiec-2022