---
route: /task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2021-15
title: Zadanie pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2021-15
source: Matura rozszerzona czerwiec 2021
category: Rachunek różniczkowy
points: 7
type: open
---

# Zadanie pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2021-15

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2021
**Kategoria:** Rachunek różniczkowy
**Punkty:** 7
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\) o przeciwprostokątnej \(AB\) i obwodzie równym \(4\). Niech \(x = |AC|\).

a) Wykaż, że pole \(P\) trójkąta \(ABC\) jako funkcja zmiennej \(x\) jest określone wzorem

\[P(x) = \frac{x(4-2x)}{4-x}\]

b) Wyznacz dziedzinę funkcji \(P\).

c) Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole. Oblicz to największe pole.

**Prawidłowa odpowiedź:** 15.1) \(P(x) = \frac{x(4 - 2x)}{4 - x}\)
15.2) \((0, 2)\)
15.3) Największe pole ma trójkąt o bokach \(4 - 2\sqrt{2}\), \(4 - 2\sqrt{2}\) oraz \(4\sqrt{2} - 4\); pole tego trójkąta jest równe \(4\left(3 - 2\sqrt{2}\right)\)

## Wzór

Formuła 2015

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/rachunek-rozniczkowy
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-rozszerzona-czerwiec-2021