---
route: /task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2019-15
title: Zadanie pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2019-15
source: Matura rozszerzona czerwiec 2019
category: Rachunek różniczkowy
points: 7
type: open
---

# Zadanie pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2019-15

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2019
**Kategoria:** Rachunek różniczkowy
**Punkty:** 7
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest okrąg o środku \(S\) i promieniu \(18\). Rozpatrujemy pary okręgów: jeden o środku \(S_1\) i promieniu \(x\) oraz drugi o środku \(S_2\) i promieniu \(2x\), o których wiadomo, że spełniają jednocześnie następujące warunki:

- rozważane dwa okręgi są styczne zewnętrznie;
- obydwa rozważane okręgi są styczne wewnętrznie do okręgu o środku \(S\) i promieniu \(18\);
- punkty: \(S\), \(S_1\), \(S_2\) nie leżą na jednej prostej.

Pole trójkąta o bokach \(a\), \(b\), \(c\) można obliczyć ze wzoru Herona \(P = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\), gdzie \(p\) - jest połową obwodu trójkąta.

Zapisz pole trójkąta \(SS_1S_2\) jako funkcję zmiennej \(x\). Wyznacz dziedzinę tej funkcji i oblicz długości boków tego z rozważanych trójkątów, którego pole jest największe. Oblicz to największe pole.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(P(x) = \sqrt{108x^2 (6 - x)}\) dla \(x \in (0, 6)\); \(|SS_1| = 14\), \(|SS_2| = 10\), \(|S_1S_2| = 12\), największe pole \(P = 24\sqrt{6}\)

## Wzór

Formuła 2015

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/rachunek-rozniczkowy
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-rozszerzona-czerwiec-2019