---
route: /task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2017-15
title: Zadanie pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2017-15
source: Matura rozszerzona czerwiec 2017
category: Rachunek różniczkowy
points: 7
type: open
---

# Zadanie pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2017-15

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2017
**Kategoria:** Rachunek różniczkowy
**Punkty:** 7
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Rozpatrujemy wszystkie prostopadłościany o objętości 8, których stosunek długości dwóch krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka jest równy \(1 : 2\) oraz suma długości wszystkich dwunastu krawędzi jest mniejsza od 28. Wyznacz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jako funkcję długości jednej z jego krawędzi. Wyznacz dziedzinę tej funkcji. Oblicz wymiary tego spośród rozpatrywanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(P_c(x) = 4x^2 + \frac{24}{x}\) dla \(x \in (1, 2)\). Najmniejsze pole powierzchni całkowitej, spośród rozpatrywanych, ma prostopadłościan o wymiarach \(\sqrt[3]{3}\), \(2\sqrt[3]{3}\), \(\frac{4}{3}\sqrt[3]{3}\).

## Wzór

Formuła 2015

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/rachunek-rozniczkowy
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-rozszerzona-czerwiec-2017