---
route: /task/matura-sierpie-2025-40
title: Zadanie matura-sierpie-2025-40
source: Matura sierpień 2025
category: Procenty
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2025-40

**Źródło:** Matura sierpień 2025
**Kategoria:** Procenty
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Hotel ma do dyspozycji gości \(80\) pokoi jednoosobowych. Właściciel hotelu przeanalizował wpływ ceny za dobę hotelową na liczbę wynajętych pokoi i stwierdził, że: przy wyjściowej cenie wynoszącej \(120\) zł za jedną dobę hotelową wszystkie pokoje są wynajęte każdy wzrost ceny za dobę hotelową o \(5\) zł skutkuje spadkiem liczby wynajmowanych pokoi o \(1\). Przyjmijmy, że dobowy przychód \(P\) hotelu z wynajmowania pokoi, w zależności od podwyżki ceny wyjściowej za dobę hotelową o \(5x\) złotych, opisuje funkcja \[ P(x)=(80-x)(120+5x) \] gdzie \(x\) jest liczbą całkowitą spełniającą warunki \(x\ge 0\) i \(x\le 80\). Oblicz, jaka powinna być cena wynajęcia jednoosobowego pokoju (za dobę hotelową), aby dobowy przychód hotelu z wynajmowania pokoi był największy. Zapisz obliczenia.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(260\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Ustalenie, kiedy dzienny przychód będzie największy.

\(P(x)\) jest funkcją kwadratową, która jest zapisana w postaci iloczynowej \(P(x)=(80-x)(120+5x)\). Wykres tej funkcji będzie parabolą z ramionami skierowanymi do dołu (dobrze to widać w momencie, gdy wymnożymy przez siebie nawiasy - otrzymalibyśmy wtedy postać ogólną, w której na początku znajdzie się \(-x^2\)). Z własności funkcji kwadratowych wiemy, że w takim przypadku ta największa wartość przyjmowana będzie w wierzchołku.

Musimy więc ustalić jaka jest pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, czyli musimy obliczyć \(p\). Mamy tak naprawdę dwie możliwości. Możemy wymnożyć przez siebie te dwa nawiasy, uporządkować cały zapis do postaci ogólnej i z niej wyliczyć tę współrzędną za pomocą wzoru \(p=\frac{-b}{2a}\). Ale możemy postąpić jeszcze sprytniej - z postaci iloczynowej bardzo łatwo możemy wyznaczyć miejsca zerowe tej funkcji (wystarczy przyrównać nawiasy do zera), a z własności parabol wiemy, że współrzędna \(p\) będzie średnią arytmetyczną tych miejsc zerowych. I zastosujmy może to drugie podejście skoro jest taka okazja.

Obliczmy zatem miejsca zerowe, czyli sprawdźmy, kiedy \((80-x)(120+5x)=0\). Jest to równanie kwadratowe w postaci iloczynowej, więc przyrównujemy nawiasy do zera:

$$80-x=0 \quad\lor\quad 120+5x=0 \\

x=80 \quad\lor\quad 5x=-120 \\

x=80 \quad\lor\quad x=-24$$

Tym samym współrzędna \(p\) wierzchołka paraboli będzie równa:

$$p=\frac{80+(-24)}{2} \\

p=\frac{56}{2} \\

p=28$$

To oznacza, że przychód będzie największy, gdy \(x=28\).

Krok 2. Usalenie ceny wynajęcia jednoosobowego pokoju.

Wiemy już, że przychód będzie największy, gdy hotel wykona \(28\) podwyżek o \(5 zł\) (czyli obrazowo rzecz ujmując, gdy hotel zostawi \(28\) pokoi pustych). Każdy niewynajęty pokój zwiększa cenę za dobę hotelową o \(5 zł\), zatem ta cena powinna wzrosnąć o:

$$28\cdot5=140 zł$$

Cena wyjściowa wynosiła \(120 zł\), zatem ostateczna cena wynajęcia pokoju powinna wynieść:

$$120zł+140zł=260zł$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/procenty
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2025