---
route: /task/matura-sierpie-2025-35
title: Zadanie matura-sierpie-2025-35
source: Matura sierpień 2025
category: Stereometria
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2025-35

**Źródło:** Matura sierpień 2025
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny \(ABCDEF\). Wysokość podstawy \(ABC\) jest równa \(2\sqrt{3}\). Przekątna \(AE\) ściany bocznej \(ABED\) tworzy z krawędzią \(AB\) kąt o mierze \(60^\circ\) (zobacz rysunek). Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(V=48\), \(P_c=56\sqrt{3}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Oblicznie długości krawędzi podstawy.

Skoro jest to graniatosłup prawidłowy trójkątny, to wiemy iż w jego podstawie znajduje się trójkąt równoboczny. Z rysunku wynika, że ten trójkąt ma wysokość równą \(2\sqrt{3}\). Korzystając zatem ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego, możemy zapisać, że:

$$h=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\

2\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\

4\sqrt{3}=a\sqrt{3} \\

a=4$$

Krok 2. Obliczenie wysokości graniastosłupa.

Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(ABE\). Jest to trójkąt o kątach \(30°, 60°, 90°\). Obliczyliśmy przed chwilą, że ta dolna przyprostokątna ma długość \(4\), zatem korzystając z własności tego trójkąta możemy stwierdzić, że ta dłuższa przyprostokątna będzie mieć długość \(\sqrt{3}\) razy większą, czyli że tym samym \(H=4\sqrt{3}\).

Krok 3. Obliczenie pola podstawy.

W podstawie znajduje się trójkąt równoboczny o boku \(a=4\), zatem korzystając ze wzoru na pole takiego trójkąta możemy stwierdzić, że:

$$P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\

P_{p}=\frac{4^2\sqrt{3}}{4} \\

P_{p}=\frac{16\sqrt{3}}{4} \\

P_{p}=4\sqrt{3}$$

Krok 4. Obliczenie objętości graniastosłupa.

Korzystając ze wzoru na objętość graniastosłupa, możemy zapisać, że:

$$V=P_{p}\cdot H \\

V=4\sqrt{3}\cdot4\sqrt{3} \\

V=16\cdot3 \\

V=48$$

Krok 5. Obliczenie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa.

Na pole powierzchni całkowitej składają się dwa pola podstawy oraz trzy ściany boczne, które są prostokątami o bokach \(4\times4\sqrt{3}\). Skoro tak, to:

$$P_{c}=2\cdot4\sqrt{3}+3\cdot4\cdot4\sqrt{3} \\

P_{c}=8\sqrt{3}+48\sqrt{3} \\

P_{c}=56\sqrt{3}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2025