---
route: /task/matura-sierpie-2025-34
title: Zadanie matura-sierpie-2025-34
source: Matura sierpień 2025
category: Geometria analityczna
points: 1
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2025-34

**Źródło:** Matura sierpień 2025
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 1
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dany jest okrąg \(\mathcal{O}\) o równaniu \[ \mathcal{O}:\ (x-1)^{2}+(y+3)^{2}=4 \] Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. Okrąg \(\mathcal{O}\) nie ma punktów wspólnych z osią \(Ox\) układu współrzędnych. P F Okrąg \(\mathcal{O}\) ma z osią \(Oy\) układu współrzędnych dokładnie dwa punkty wspólne. P F

**Prawidłowa odpowiedź:** PP

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-sierpie-2025-34.png]

Krok 2. Odczytanie współrzędnych środka okręgu i promienia okręgu.

Okrąg o środku w punkcie \(S=x_{S}, y_{S}\) i promieniu \(r\) możemy opisać równaniem:

$$(x-x_{S})^2+(y-y_{S})^2=r^2$$

W takim razie możemy z treści zadania odczytać współrzędne środka okręgu \(\mathcal{O}\):

$$(x-1)^2+(y+3)^2=4 \\

(x-1)^2+(y-(-3))^2=2^2$$

Widzimy wyraźnie, że środkiem będzie punkt \(S=(1,-3)\), z kolei promień okręgu jest równy \(r=2\). Nasz okrąg widać na rysunku pomocniczym w kroku 1.

Krok 3. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.

Skoro współrzędna \(y\) środka okręgu jest równa \(-3\), a promień okręgu to \(r=2\), to okrąg "nie dojdzie" do osi \(Ox\), stąd też nie będzie miał on z tą osią punktów wspólnych, co widać zresztą na rysunku. Zdanie jest więc prawdą.

Krok 4. Ocena prawdziwości drugiego zdania.

Na rysunku pomocniczym bardzo dobrze widać, że ten okrąg będzie miał rzeczywiście dwa punkty wspólne z osią \(Oy\), zatem zdanie jest prawdą.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2025