---
route: /task/matura-sierpie-2025-32
title: Zadanie matura-sierpie-2025-32
source: Matura sierpień 2025
category: Planimetria
points: 1
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2025-32

**Źródło:** Matura sierpień 2025
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 1
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest trapez \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) takich, że \(|AB|=2\cdot|CD|\). Przekątne \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(E\) (zobacz rysunek). Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. Pola trójkątów \(BCE\) oraz \(AED\) są równe. P F Pole trójkąta \(ABE\) jest dwa razy większe od pola trójkąta \(CDE\). P F

**Prawidłowa odpowiedź:** PF

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.

Spójrzmy na trójkąty \(ACD\) oraz \(BCD\). Obydwa te trójkąty mają jednakową podstawę \(CD\) i mają tą samą wysokość. To prowadzi nas do wniosku, że tym samym pola tych dwóch trójkątów muszą być jednakowe. Skoro tak, to moglibyśmy zauważyć, że na pole trójkąta \(ACD\) składają się pola dwóch trójkątów, czyli \(AED\) oraz \(ECD\), z kolei na pole trójkąta \(BCD\) składa się pole trójkąta \(BCD\) oraz ponownie \(ECD\). Moglibyśmy więc ułożyć równanie:

$$P_{ACD}=P_{BCD} \\

P_{AED}+P_{ECD}=P_{BCD}+P_{ECD} \\

P_{AED}=P_{BCD}$$

Zdanie jest więc prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.

Trójkąty \(ABE\) oraz \(CDE\) są trójkątami podobnymi (wynika to z cechy kąt-kąt-kąt). Skoro bok \(AB\) jest \(2\) razy dłuższy od boku \(CD\), to moglibyśmy ustalić, że skala podobieństwa tych trójkątów wynosi \(k=2\). Z własności trójkątów podobnych wiemy, że gdy trójkąt ma boki \(k\) razy większe, to pole tego trójkąta będzie \(k^2\) razy większe. Tym samym moglibyśmy stwierdzić, że pole trójkąta \(ABE\) będzie \(4\) razy większe, zatem zdanie jest fałszem.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2025