---
route: /task/matura-sierpie-2025-29
title: Zadanie matura-sierpie-2025-29
source: Matura sierpień 2025
category: Planimetria
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2025-29

**Źródło:** Matura sierpień 2025
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(|AB|=6\), \(|AC|=4\) oraz \(|\angle CAB|=60^\circ\) (zobacz rysunek).

**a)** Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Pole trójkąta \(ABC\) jest równe
A. \(6\)
B. \(6\sqrt{3}\)
C. \(12\)
D. \(12\sqrt{3}\)

**b)** Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Długość boku \(BC\) trójkąta \(ABC\) jest równa
A. \(\sqrt{28}\)
B. \(\sqrt{40}\)
C. \(8\)
D. \(\sqrt{76}\)

**Prawidłowa odpowiedź:** a) B
b) A

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

**a)** Znamy miary dwóch boków trójkąta oraz kąt między nimi. Jest to więc modelowa sytuacja, w której możemy skorzystać ze wzoru na pole trójkąta "z sinusem", zatem:

$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin\alpha \\

P=\frac{1}{2}\cdot6\cdot4\cdot\sin60^\circ \\

P=12\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} \\

P=6\sqrt{3}$$

**b)** Korzystając z twierdzenia cosinusów, możemy zapisać, że:

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos\alpha \\

c^2=6^2+4^2-2\cdot6\cdot4\cdot \cos60^\circ \\

c^2=36+16-48\cdot\frac{1}{2} \\

c^2=52-24 \\

c^2=28 \\

c=\sqrt{28} \quad\lor\quad c=-\sqrt{28}$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, bo długość boku musi być dodatnia, zatem zostaje nam \(c=\sqrt{28}\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2025