---
route: /task/matura-sierpie-2025-26
title: Zadanie matura-sierpie-2025-26
source: Matura sierpień 2025
category: Geometria analityczna
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2025-26

**Źródło:** Matura sierpień 2025
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Punkty \(A\), \(B\), \(C\) oraz \(D\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(S\) i o promieniu \(36\). Punkt \(S\) leży na odcinku \(BD\). Kąt \(BDA\) ma miarę \(40^\circ\), a kąt \(DBC\) ma miarę \(65^\circ\) (zobacz rysunek).

**a)** Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Miara kąta ostrego \(BSA\) jest równa
A. \(20^\circ\)
B. \(40^\circ\)
C. \(50^\circ\)
D. \(80^\circ\)

**b)** Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Długość łuku \(BC\), na którym jest oparty kąt wpisany \(CDB\), jest równa
A. \(8\pi\)
B. \(10\pi\)
C. \(13\pi\)
D. \(20\pi\)

**Prawidłowa odpowiedź:** a) D
b) B

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

**a)** Kąt środkowy \(BSA\) jest oparty na tym samym łuku, co kąt wpisany \(ADB\) o mierze \(40^\circ\). Z własności kątów środkowych wiemy, że w takim razie miara tego środkowego kąta będzie dwa razy większa od miary kąta wpisanego, zatem:

$$|\sphericalangle BSA|=2\cdot40^\circ=80^\circ$$

**b)** Krok 1. Obliczenie obwodu okręgu.

Z rysunku możemy odczytać iż promień okręgu ma długość \(r=36\). Korzystając zatem ze wzoru na obwód okręgu, możemy zapisać, że:

$$Obw=2\pi r \\

Obw=2\pi\cdot36 \\

Obw=72\pi$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta środkowego \(BSC\).

Spójrzmy na trójkąt \(BCD\). Jeden z jego boków pokrywa się ze średnicą okręgu, a to z kolei oznacza, iż jest to trójkąt prostokątny. Skoro tak, to kąt wpisany \(BDC\) będzie miał miarę:

$$|\sphericalangle BDC|=180^\circ-90^\circ-65^\circ=25^\circ$$

Tym samym kąt środkowy \(BSC\), oparty na tym samym łuku co kąt \(BDC\), będzie miał miarę:

$$|\sphericalangle BSC|=2\cdot25^\circ=50^\circ$$

Krok 3. Obliczenie długości łuku \(BC\).

Kiedy znamy miarę kąta środkowego, który jest oparty na łuku \(BC\), możemy stwierdzić, że łuk \(BC\) będzie stanowił \(\frac{50}{360}\) długości obwodu okręgu. Skoro tak, to:

$$BC=\frac{50}{360}\cdot72\pi \\

BC=10\pi$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2025