---
route: /task/matura-sierpie-2025-16
title: Zadanie matura-sierpie-2025-16
source: Matura sierpień 2025
category: Funkcja kwadratowa
points: 3
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2025-16

**Źródło:** Matura sierpień 2025
**Kategoria:** Funkcja kwadratowa
**Punkty:** 3
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\tfrac{1}{2}x^{2}+bx+c\), gdzie \(b\) oraz \(c\) są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji \(f\) jest liczba \(6\). W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) prosta o równaniu \(x=1\) jest osią symetrii wykresu funkcji \(f\).

**a)** Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Funkcja \(f\) jest określona wzorem
A. \(f(x)=\tfrac{1}{2}(x-4)(x-6)\)
B. \(f(x)=\tfrac{1}{2}(x-4)(x+6)\)
C. \(f(x)=\tfrac{1}{2}(x+4)(x-6)\)
D. \(f(x)=\tfrac{1}{2}(x+4)(x+6)\)

**b)** Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. Współczynnik \(b\) we wzorze funkcji \(f\) jest liczbą dodatnią. P F Współczynnik \(c\) we wzorze funkcji \(f\) jest liczbą dodatnią. P F

**c)** Funkcja \(g\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wzorem \(g(x)=f(x-3)\). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Osią symetrii wykresu funkcji \(g\) jest prosta o równaniu
A. \(x=-2\)
B. \(x=1\)
C. \(x=3\)
D. \(x=4\)

**Prawidłowa odpowiedź:** a) C
b) FF
c) D

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

**a)** Oś symetrii znajduje się zawsze w jednakowej odległości od miejsc zerowych. Skoro więc jednym z miejsc zerowych jest liczba \(6\), a prosta \(x=1\) jest osią symetrii (czyli jest ona oddalona o \(5\) jednostek), to możemy wywnioskować, że drugim miejscem zerowym będzie \(x=-4\), ponieważ \(-4+5=1\). Znając miejsca zerowe możemy przystąpić do zapisania wzoru w postaci iloczynowej typu \(f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})\). Wartość współczynnika \(a\) jest znana i wynosi ona \(\frac{1}{2}\), zatem znając miejsca zerowe możemy stwierdzić, że nasza funkcja jest określona wzorem:

$$f(x)=\frac{1}{2}(x-(-4))(x-6) \\

f(x)=\frac{1}{2}(x+4)(x-6)$$

**b)** Krok 1. Zapisanie wzoru w postaci ogólnej.

Aby poznać odpowiedzi do tego zadania, musimy przekształcić wzór funkcji w postaci iloczynowej z poprzedniego podpunktu. Wymnażając przez siebie nawiasy, otrzymamy:

$$f(x)=\frac{1}{2}(x+4)(x-6) \\

f(x)=\frac{1}{2}(x^2-6x+4x-24) \\

f(x)=\frac{1}{2}(x^2-2x-24) \\

f(x)=\frac{1}{2}x^2-x-12$$

Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.

Współczynnik \(b=-1\), czyli jest ujemny, zatem zdanie jest fałszem.

Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.

Współczynnik \(c=-12\), czyli jest ujemny, zatem zdanie jest fałszem.

**c)** Ze wzoru \(g(x)=f(x-3)\) wynika, że funkcja \(g(x)\) powstała w wyniku przesunięcia funkcji \(f(x)\) o \(3\) jednostki w prawo. Tym samym przesunięta w prawo będzie też oś symetrii. Możemy zatem wywnioskować, że osią symetrii wykresu funkcji \(g\) będzie \(x=4\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/funkcja-kwadratowa
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2025