---
route: /task/matura-sierpie-2025-12
title: Zadanie matura-sierpie-2025-12
source: Matura sierpień 2025
category: Geometria analityczna
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2025-12

**Źródło:** Matura sierpień 2025
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Funkcja \(f\) jest określona następująco: \[ f(x)= \begin{cases} -2x-10 & \text{dla } x\in(-5,-3],\\ x-1 & \text{dla } x\in(-3,4]. \end{cases} \] Wykres funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku poniżej.

**a)** Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Miejscem zerowym funkcji \(f\) jest liczba ……… . 2. Wartość wyrażenia \(f(-2)+3\cdot f(2)\) jest równa ……… .

**b)** Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział ………………… . 2. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(f(x)\lt -2\) jest przedział ………………… .

**Prawidłowa odpowiedź:** a) 1. Miejscem zerowym funkcji \(f\) jest liczba \(1\).2. Wartość wyrażenia \(f(-2)+3\cdot f(2)\) jest równa \(0\).
b) 1. \(\langle -4,3\rangle \)2. \((-4,-1)\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

**a)** Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.

Miejsce zerowe to taki argument \(x\), dla którego funkcja przyjmuje wartość równą \(0\). Zerkamy więc na wykres i sprawdzamy, dla jakiego argumentu następuje taka sytuacja i widzimy, że jedynym miejscem zerowym tej funkcji będzie liczba \(1\).

Możemy to potwierdzić obliczeniowo. Dla \(x \in (-3, 4]\) mamy \(f(x) = x - 1\), więc \(f(x) = 0\) gdy \(x - 1 = 0\), czyli \(x = 1\). Dla pierwszego przedziału \(f(x) = -2x - 10 = 0\) daje \(x = -5\), ale punkt \(x = -5\) nie należy do dziedziny (przedział jest otwarty).

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.

Wyrażenie wygląda dość nietypowo, ale tak naprawdę idea zadania polega na tym, by z wykresu odczytać jaka jest wartość \(f(-2)\) oraz \(f(2)\) (czyli jakie wartości przyjmuje funkcja dla argumentów \(x=-2\) oraz \(x=2\)), a następnie by podstawić te wartości do wyrażenia. Z wykresu odczytujemy, że \(f(-2)=-3\), natomiast \(f(2)=1\). W związku z tym wartość tego wyrażenia będzie równa:

$$-3+3\cdot1=-3+3=0$$

**b)** Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.

Widzimy, że funkcja przyjmuje wartości od \(-4\) aż do \(3\) włącznie, zatem zbiorem wartości będzie przedział \([-4,3]\).

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.

Chcemy się dowiedzieć dla jakich argumentów \(x\) funkcja przyjmuje wartości mniejsze niż \(-2\). Zerkamy więc na wykres i widzimy, że dzieje się tak dla argumentów z przedziału \((-4,-1)\). Nawiasy dajemy tutaj otwarte, ponieważ dla tych krańcowych wartości przyjmowana wartość jest równa dokładnie \(-2\), a miała być mniejsza niż \(-2\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2025