---
route: /task/matura-sierpie-2025-08
title: Zadanie matura-sierpie-2025-08
source: Matura sierpień 2025
category: Równania i nierówności
points: 3
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2025-08

**Źródło:** Matura sierpień 2025
**Kategoria:** Równania i nierówności
**Punkty:** 3
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dane jest równanie \[ \frac{3}{3x-7}=\frac{5x}{x-8},\quad \text{gdzie } x\ne \frac{7}{3} \text{ i } x\ne 8. \] Wyznacz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału \(\left(\frac{5}{4},+\infty\right)\). Zapisz obliczenia.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(x=\frac{4}{3}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Rozpisanie równania.

Tego typu równania najprościej jest rozwiązywać wykonując tzw. mnożenie na krzyż, zatem:

$$\frac{3}{3x-7}=\frac{5x}{x-8} \\

3\cdot(x-8)=(3x-7)\cdot5x \\

3x-24=15x^2-35x \\

-15x^2+38x-24=0$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe zapisane w postaci ogólnej, zatem przy rozwiązaniu możemy posłużyć się deltą:

Współczynniki: \(a=-15,\;b=38,\;c=-24\)

$$Δ=b^2-4ac=38^2-4\cdot(-15)\cdot(-24)=1444-1440=4 \\

\sqrt{Δ}=\sqrt{4}=2$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-38-2}{2\cdot(-15)}=\frac{-40}{-30}=\frac{4}{3} \\

x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-38+2}{2\cdot(-15)}=\frac{-36}{-30}=\frac{6}{5}$$

Krok 3. Weryfikacja otrzymanych wyników.

Celem zadania jest podanie które z otrzymanych rozwiązań mieści się w przedziale \((\frac{5}{4},+\infty)\), czyli które rozwiązanie tak naprawdę jest większe od \(1,25\). Taką liczbą będzie tylko \(\frac{4}{3}\) (bo jest to w przybliżeniu \(1,33\)), zatem jedynym rozwiązaniem do tego zadania będzie \(x=\frac{4}{3}\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/rownania-i-nierownosci
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2025