---
route: /task/matura-sierpie-2025-05
title: Zadanie matura-sierpie-2025-05
source: Matura sierpień 2025
category: Potęgi i pierwiastki
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2025-05

**Źródło:** Matura sierpień 2025
**Kategoria:** Potęgi i pierwiastki
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wykaż, że liczba \(8^{50}-2^{145}\) jest podzielna przez \(31\).

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Naszą liczbę możemy rozpisać w następujący sposób:

$$8^{50}-2^{145}=(2^3)^{50}-2^{145}=2^{150}-2^{145}$$

Otrzymaliśmy odejmowanie potęg o jednakowych podstawach. Teraz moglibyśmy rozbić liczbę \(2^{150}\) na iloczyn \(2^{5}\cdot2^{145}\). Z kolei dla lepszego zobrazowania można też byłoby rozpisać \(2^{145}\) jako \(1\cdot2^{145}\). To doprowadzi nas do następującej sytuacji:

$$2^{150}-2^{145}=2^{5}\cdot2^{145}-1\cdot2^{145}=32\cdot2^{145}-1\cdot2^{145}=31\cdot2^{145}$$

Otrzymaliśmy w ten sposób iloczyn dwóch liczb całkowitych, z czego jedna jest równa właśnie \(31\). To oznacza, że nasza liczba jest podzielna przez \(31\), co należało udowodnić.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/potegi-i-pierwiastki
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2025