---
route: /task/matura-sierpie-2024-36
title: Zadanie matura-sierpie-2024-36
source: Matura sierpień 2024
category: Potęgi i pierwiastki
points: 3
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2024-36

**Źródło:** Matura sierpień 2024
**Kategoria:** Potęgi i pierwiastki
**Punkty:** 3
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Suma dwóch nieujemnych liczb rzeczywistych \(x\) oraz \(y\) jest równa \(12\). Wyznacz \(x\) oraz \(y\), dla których wartość wyrażenia \(2 x^{2}+y^{2}\) jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą wartość. Zapisz obliczenia.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(x=4\), \(y=8\) \(f(x) = 96\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Zapisanie równań.

Z treści zadania wynika, że suma dwóch liczb ma być równa \(12\), czyli:

$$x+y=12 \\

y=12-x$$

Dodatkowo od razu możemy zapisać założenia do naszego zadania. Liczby muszą być nieujemne, a jednocześnie ich suma jest równa \(12\), więc każda z tych liczb musi być większa lub równa \(0\) i jednocześnie mniejsza lub równa \(12\). Zapisalibyśmy więc założenie, że \(x\in\langle0;12\rangle\) oraz \(y\in\langle0;12\rangle\).

Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji \(f(x)\).

Kluczem do sukcesu będzie zapisanie wartości wyrażenia z użyciem jednej zmiennej, czyli zmiennej \(x\). Aby tego dokonać, wystarczy podstawić wyznaczone \(y=12-x\) do wyrażenia \(2x^2+y^2\), otrzymując:

$$2x^2+(12-x)^2= \\

=2x^2+144-24x+x^2= \\

=3x^2-24x+144$$

Teraz całość musimy potraktować jako funkcję kwadratową, więc moglibyśmy zapisać, że \(f(x)=3x^2-24x+144\).

Krok 3. Wyznaczenie wartości \(x\) oraz \(y\).

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, a tutaj ta parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry, ponieważ współczynnik kierunkowy \(a=3\) jest większy od zera.

Chcemy się dowiedzieć, dla jakiego \(x\) ta wartość będzie najmniejsza, a wiemy, że parabola skierowana ramionami do góry osiągnie swoją najmniejszą wartość w wierzchołku. Aby obliczyć tę wartość, musimy skorzystać ze wzoru na współrzędną \(x_{W}\) (często oznaczaną też jako \(p\)):

$$x_{W}=\frac{-b}{2a} \\

x_{W}=\frac{-(-24)}{2\cdot3} \\

x_{W}=\frac{24}{6} \\

x_{W}=4$$

To oznacza, że najmniejsza wartość będzie przyjmowana wtedy, gdy \(x=4\). Od razu możemy obliczyć jaka będzie wartość \(y\). W tym celu wystarczy skorzystać z równania zapisanego w pierwszym kroku, czyli:

$$y=12-4 \\

y=8$$

Krok 4. Wyznaczenie najmniejszej wartości.

Największą pułapką tego zadania jest to, że obliczona przed chwilą wartość \(y=8\) to nie jest najmniejsza wartość funkcji. Musimy zwrócić uwagę, że \(x\) oraz \(y\) to liczby, dla których ta najmniejsza wartość jest przyjmowana, więc trzeba byłoby teraz podstawić \(x=4\) oraz \(y=8\) do tego wyrażenia i sprawdzić jaki wynik otrzymamy:

$$2\cdot4^2+8^2=2\cdot16+64=32+64=96$$

Równie dobrze można byłoby skorzystać z naszej funkcji \(f(x)=3x^2-24x+144\) i obliczyć \(f(4)\), co wyglądałoby następująco:

$$f(4)=3\cdot4^2-24\cdot4+144 \\

f(4)=3\cdot16-96+144 \\

f(4)=48-96+144 \\

f(4)=96$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/potegi-i-pierwiastki
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2024