---
route: /task/matura-sierpie-2024-29
title: Zadanie matura-sierpie-2024-29
source: Matura sierpień 2024
category: Geometria analityczna
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-sierpie-2024-29

**Źródło:** Matura sierpień 2024
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) odcinek o końcach \(A=(-4,7)\) oraz \(B=(6,-1)\) jest średnicą okręgu \(\mathcal{O}\). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Okrąg \(\mathcal{O}\) jest określony równaniem

## Odpowiedzi

- **A.** \((x-1)^{2}+(y-3)^{2}=41\)
- **B.** \((x-5)^{2}+(y+4)^{2}=41\)
- **C.** \((x-1)^{2}+(y+3)^{2}=41\)
- **D.** \((x-5)^{2}+(y-4)^{2}=41\)

**Prawidłowa odpowiedź:** A

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie współrzędnych środka okręgu.

Skoro odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu, to środek tego odcinka będzie jednocześnie środkiem okręgu. Środek odcinka \(AB\) o współrzędnych \(A=(x_{A};y_{A})\) oraz \(B=(x_{B};y_{B})\) możemy opisać wzorem:

$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)$$

Podstawiając dane z treści zadania, otrzymamy:

$$S=\left(\frac{-4+6}{2};\frac{7+(-1)}{2}\right) \\

S=\left(\frac{2}{2};\frac{6}{2}\right) \\

S=(1;3)$$

Krok 2. Zapisanie równania okręgu.

Równanie okręgu zapisujemy jako \((x−a)^2+(y−b)^2=r^2\), gdzie \(a\) oraz \(b\) to współrzędne środka okręgu \(S=(a;b)\), natomiast \(r\) to promień okręgu. Teoretycznie powinniśmy jeszcze obliczyć długość promienia (co byłoby możliwe, bo przecież to jest połowa odcinka \(AB\)), ale nie ma takiej potrzeby, bo wszystkie z podanych odpowiedzi mają tą samą wartość \(r^2\), więc jesteśmy w stanie rozwiązać to zadanie bez znajomości długości promienia. Przyjmując więc, że \(r^2=41\), możemy stwierdzić, że nasz okrąg wyraża się równaniem:

$$(x-1)^2+(y-3)^2=41$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2024