---
route: /task/matura-sierpie-2024-26
title: Zadanie matura-sierpie-2024-26
source: Matura sierpień 2024
category: Geometria analityczna
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2024-26

**Źródło:** Matura sierpień 2024
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Podstawy trapezu prostokątnego \(ABCD\) mają długości: \(|AB|=12\) oraz \(|CD|=6\). Wysokość \(AD\) tego trapezu ma długość \(24\). Na odcinku \(AD\) leży punkt \(E\) taki, że \(|\sphericalangle BEA|=|\sphericalangle CED|\) (zobacz rysunek). Oblicz długość odcinka \(BE\). Zapisz obliczenia.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(|BE|=20\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Dostrzeżenie trójkątów podobnych i ustalenie skali podobieństwa.

Powinniśmy dostrzec, że trójkąty \(ABE\) oraz \(DCE\) są trójkątami podobnymi na podstawie cechy kąt-kąt-kąt (mają one jednakowy kąt przy wierzchołku \(E\) oraz są trójkątami prostokątnymi, więc i miara trzeciego kąta jest jednakowa). Wiemy, że analogiczne dwa boki mają długości odpowiednio: \(12\) oraz \(6\), więc jeśli przyjmiemy, że mniejszy trójkąt \(DCE\) jest trójkątem podstawowym, a większy \(ABE\) jest podobnym, to skala podobieństwa będzie równa:

$$k=\frac{12}{6} \\

k=2$$

Oczywiście moglibyśmy też przyjąć to podobieństwo na odwrót, co sprawiłoby, że \(k=\frac{1}{2}\) i wtedy konsekwentnie trzeba byłoby właśnie tę skalę brać do dalszych obliczeń.

Krok 2. Obliczenie długości boku \(AE\).

Ustaliliśmy już, że większy trójkąt ma boki \(2\) razy większe od mniejszego. Jeśli więc oznaczylibyśmy bok \(DE\) jako \(x\), to bok \(AE\) miałby długość \(2x\). Z treści zadania wynika, że suma tych boków jest równa \(24\), zatem:

$$x+2x=24 \\

3x=24 \\

x=8$$

Tym samym możemy stwierdzić, że \(|DE|=8\) oraz \(|AE|=2\cdot8=16\).

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(BE\).

Spójrzmy na trójkąt \(ABE\). Jest to trójkąt prostokątny, w którym znamy długości dwóch boków: \(12\) oraz \(16\). Poszukiwany bok \(BE\) jest przeciwprostokątną tego trójkąta, zatem z pomocą przyjdzie nam twierdzenie Pitagorasa:

$$12^2+16^2=|BE|^2 \\

144+256=|BE|^2 \\

400=|BE|^2 \\

|BE|=20 \quad\lor\quad |BE|=-20$$

Długość boku musi być oczywiście dodatnia, zatem zostaje nam \(|BE|=20\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2024