---
route: /task/matura-sierpie-2024-24
title: Zadanie matura-sierpie-2024-24
source: Matura sierpień 2024
category: Trygonometria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-sierpie-2024-24

**Źródło:** Matura sierpień 2024
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(|AB|=5,|AC|=2\) oraz \(\cos |\sphericalangle BAC|=\frac{3}{5}\). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Długość boku \(BC\) tego trójkąta jest równa

## Odpowiedzi

- **A.** \(\sqrt{17}\)
- **B.** \(\sqrt{23}\)
- **C.** \(\sqrt{35}\)
- **D.** \(\sqrt{41}\)

**Prawidłowa odpowiedź:** A

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie długości boku \(BC\).

W tym zadaniu skorzystamy z twierdzenia cosinusów. Boki \(AB\) i \(AC\) wychodzą z wierzchołka \(A\), więc to one tworzą kąt \(BAC\), a ich długości to odpowiednio \(a=|AB|=5\) oraz \(b=|AC|=2\). Szukany bok \(BC\) leży naprzeciwko kąta \(BAC\), więc możemy go oznaczyć jako \(c\), a całość obliczeń będzie wyglądać następująco:

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot cos|\sphericalangle BAC| \\

c^2=5^2+2^2-2\cdot5\cdot2\cdot\frac{3}{5} \\

c^2=25+4-12 \\

c^2=29-12 \\

c^2=17 \\

c=\sqrt{17} \quad\lor\quad c=-\sqrt{17}$$

Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, bo długość boku musi być dodatnia, zatem zostaje nam \(c=\sqrt{17}\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2024