---
route: /task/matura-sierpie-2024-23
title: Zadanie matura-sierpie-2024-23
source: Matura sierpień 2024
category: Trygonometria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-sierpie-2024-23

**Źródło:** Matura sierpień 2024
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

W trójkącie prostokątnym \(A B C\) sinus kąta \(C A B\) jest równy \(\frac{3}{5}\), a przeciwprostokątna \(A B\) jest o \(8\) dłuższa od przyprostokątnej \(B C\). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Długość przeciwprostokątnej \(A B\) tego trójkąta jest równa

## Odpowiedzi

- **A.** \( 18 \)
- **B.** \( 20 \)
- **C.** \( 24 \)
- **D.** \( 25 \)

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń.

W trójkącie prostokątnym \(ABC\) przeciwprostokątną jest bok \(AB\), więc kąt prosty leży przy wierzchołku \(C\), a kąt \(CAB\) jest kątem ostrym o wierzchołku \(A\). Przyprostokątna \(BC\) leży naprzeciwko kąta \(CAB\).

Aby się nie pomylić w oznaczeniu boków, długość boku \(AB\) warto oznaczyć jako \(x\), a wtedy długość boku \(BC\), krótszego o \(8\), jest równa \(x-8\).

Krok 2. Obliczenie długości przeciwprostokątnej \(AB\).

Sinus opisuje nam stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko danego kąta względem przeciwprostokątnej, zatem możemy zapisać, że:

$$\frac{x-8}{x}=\frac{3}{5}$$

Jest to równanie wymierne (w sumie można byłoby nawet zapisać założenie, że \(x\neq0\)), które najprościej będzie rozwiązać metodą mnożenia na krzyż:

$$5\cdot(x-8)=3x \\

5x-40=3x \\

2x-40=0 \\

2x=40 \\

x=20$$

Jako \(x\) oznaczyliśmy długość przeciwprostokątnej, zatem zadanie możemy uznać za zakończone.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2024