---
route: /task/matura-sierpie-2024-22
title: Zadanie matura-sierpie-2024-22
source: Matura sierpień 2024
category: Trygonometria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-sierpie-2024-22

**Źródło:** Matura sierpień 2024
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Kąt \(\alpha\) jest ostry oraz \(\cos \alpha=\frac{24}{25}\). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Tangens kąta \(\alpha\) jest równy

## Odpowiedzi

- **A.** \(\frac{7}{18}\)
- **B.** \( \frac{7}{24} \)
- **C.** \( \frac{7}{25} \)
- **D.** \( \frac{18}{25} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń w trójkącie prostokątnym.

Zadanie możemy rozwiązać korzystając z jedynki trygonometrycznej (obliczymy wtedy wartość sinusa, a tangens naszego kąta będzie równy \(\frac{sin\alpha}{cos\alpha}\)), ale znacznie prostsza będzie metoda trójkąta prostokątnego. Cosinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie do długości przeciwprostokątnej. Skoro cosinus jest równy \(\frac{24}{25}\), to długość przyprostokątnej przy kącie \(\alpha\) możemy opisać jako \(24x\), natomiast długość przeciwprostokątnej jako \(25x\).

Krok 2. Obliczenie długości drugiej przyprostokątnej.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:

$$a^2+(24x)^2=(25x)^2 \\

a^2+576x^2=625x^2 \\

a^2=49x^2 \\

a=7x \quad\lor\quad a=-7x$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, bo bok musi mieć dodatnią długość, zatem zostaje nam \(7x\).

Krok 3. Obliczenie tangensa kąta \(\alpha\).

Tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko tego kąta do długości przyprostokątnej leżącej przy nim. Możemy więc stwierdzić, że \(tg\alpha=\frac{7x}{24x}=\frac{7}{24}\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2024