---
route: /task/matura-sierpie-2024-19
title: Zadanie matura-sierpie-2024-19
source: Matura sierpień 2024
category: Potęgi i pierwiastki
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-sierpie-2024-19

**Źródło:** Matura sierpień 2024
**Kategoria:** Potęgi i pierwiastki
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Ciąg \(\left(a_{n}\right)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\). Suma \(n\) początkowych wyrazów tego ciągu wyraża się wzorem \(S_{n}=n^{2}+2 n\) dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Trzeci wyraz ciągu \(\left(a_{n}\right)\) jest równy

## Odpowiedzi

- **A.** \( 5 \)
- **B.** \( 7 \)
- **C.** \( 13 \)
- **D.** \( 15 \)

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Ustalmy może najpierw co liczymy i czego szukamy. Jeśli podstawilibyśmy \(n=3\) do wzoru z treści zadania, to obliczylibyśmy ile jest równe \(S_{3}\), czyli ile jest równe \(a_{1}+a_{2}+a_{3}\). Celem tego zadania jest jednak poznanie samej wartości \(a_{3}\). Jak tego dokonać?

Powinniśmy zauważyć, że licząc \(S_{2}\) obliczymy sumę \(a_{1}+a_{2}\), natomiast licząc \(S_{3}\) obliczymy sumę \(a_{1}+a_{2}+a_{3}\). Różnica między tymi wynikami jest więc niczym innym jak poszukiwanym przez nas \(a_{3}\). Obliczmy zatem osobno \(S_{2}\) oraz \(S_{3}\):

$$S_{2}=2^2+2\cdot2=4+4=8 \\

S_{3}=3^2+2\cdot3=9+6=15$$

Jak już ustaliliśmy, trzeci wyraz ciągu będzie różnicą tych dwóch sum, zatem:

$$a_{3}=S_{3}-S_{2} \\

a_{3}=15-8 \\

a_{3}=7$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/potegi-i-pierwiastki
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2024