---
route: /task/matura-sierpie-2024-03
title: Zadanie matura-sierpie-2024-03
source: Matura sierpień 2024
category: Potęgi i pierwiastki
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2024-03

**Źródło:** Matura sierpień 2024
**Kategoria:** Potęgi i pierwiastki
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\) liczba \((2 n+5)^{2}+3\) jest podzielna przez \(4\).

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, możemy naszą liczbę rozpisać w następujący sposób:

$$(2n+5)^2+3=4n^2+20n+25+3=4n^2+20n+28=4\cdot(n^2+5n+7)$$

Teraz powinniśmy dostrzec, że \(n^2+5n+7\) będzie sumą trzech liczb naturalnych, czyli wartość tego całego nawiasu jest dodatnia. Stojąca przed nawiasem czwórka informuje nas więc, że ta cała liczba będzie podzielna przez \(4\), a to co jest w nawiasie będzie po prostu wynikiem tego dzielenia, co należało wykazać.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/potegi-i-pierwiastki
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2024