---
route: /task/matura-sierpie-2023-38
title: Zadanie matura-sierpie-2023-38
source: Matura sierpień 2023
category: Funkcja kwadratowa
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2023-38

**Źródło:** Matura sierpień 2023
**Kategoria:** Funkcja kwadratowa
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Zakład stolarski produkuje krzesła, które sprzedaje po \(196\) złotych za sztukę. Właściciel, na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków, stwierdził, że: przychód \(P\) (w złotych) ze sprzedaży \(x\) krzeseł można opisać funkcją \(P(x) = 196x\) koszt \(K\) (w złotych) produkcji \(x\) krzeseł dziennie można opisać funkcją \[K(x) = 4x^2 + 4x + 240\] Dziennie w zakładzie można wyprodukować co najwyżej \(30\) krzeseł. Oblicz, ile krzeseł powinien dziennie sprzedawać zakład, aby zysk ze sprzedaży krzeseł wyprodukowanych przez ten zakład w ciągu jednego dnia był możliwie największy. Oblicz ten największy zysk. Zapisz obliczenia. Wskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(24\) krzesła\(2064\) zł zysku

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Zapisanie wzoru na zysk.

Zgodnie ze wskazówką, zysk to różnica między przychodami i kosztami. Spróbujmy zatem wyznaczyć wzór funkcji, która opisze nam ten zysk. Moglibyśmy zapisać, że:

$$Z(x)=P(x)-K(x) \\

Z(x)=196x-(4x^2+4x+240) \\

Z(x)=196x-4x^2-4x-240 \\

Z(x)=-4x^2+192x-240$$

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnej \(p\) wierzchołka paraboli (czyli liczby sprzedanych krzeseł, aby zysk był największy).

Otrzymana funkcja \(Z(x)=-4x^2+192x-240\) jest funkcją kwadratową, której ramiona będą skierowane do dołu (bo współczynnik \(a\) jest ujemny). Chcemy, by zysk był jak największy, czyli tak naprawdę szukamy największej wartości naszej funkcji \(Z(x)\). Z własności funkcji kwadratowych wiemy, że w takim przypadku ta największa wartość przyjmowana będzie w wierzchołku.

Obliczmy zatem współrzędną \(p\) wierzchołka paraboli. Korzystając ze wzoru \(p=\frac{-b}{2a}\) i wiedząc, że \(a=-4\) oraz \(b=192\), możemy zapisać, że:

$$p=\frac{-192}{2\cdot(-4)} \\

p=\frac{-192}{-8} \\

p=24$$

To oznacza, że nasza funkcja przyjmuje największą wartość dla argumentu \(x=24\). Ta wartość mieści się w przedziale \(x\in\langle0;30\rangle\) (bo zakład jest w stanie wyprodukować co najwyżej \(30\) krzeseł), więc ta odpowiedź jest dla nas ostateczna. Mówiąc wprost, największe zyski osiągniemy przy produkcji \(24\) krzeseł dziennie.

Krok 3. Obliczenie największego zysku.

Wiemy już, że największy zysk osiągniemy, gdy liczba krzeseł będzie równa \(x=24\). To, ile wyniesie ten zysk możemy obliczyć, podstawiając \(x=24\) do wzoru naszej funkcji opisującej zysk, czyli \(Z(x)=-4x^2+192x-240\):

$$Z(24)=-4\cdot(24)^2+192\cdot24-240 \\

Z(24)=-4\cdot576+4608-240 \\

Z(24)=-2304+4608-240 \\

Z(24)=2064$$

To oznacza, że największy zysk wynosi \(2064\) złotych.

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-657.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/funkcja-kwadratowa
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2023