---
route: /task/matura-sierpie-2023-32
title: Zadanie matura-sierpie-2023-32
source: Matura sierpień 2023
category: Stereometria
points: 3
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2023-32

**Źródło:** Matura sierpień 2023
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 3
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą \(6\).

**a)** Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe

A. \(216+18\sqrt{3}\)
B. \(216+54\sqrt{3}\)
C. \(216+216\sqrt{3}\)
D. \(216+108\sqrt{3}\)

**b)** Oblicz cosinus kąta nachylenia dłuższej przekątnej tego graniastosłupa do płaszczyzny podstawy graniastosłupa. Zapisz obliczenia.

**Prawidłowa odpowiedź:** a) D
b) \(\frac{2\sqrt{5}}{5}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

**a)** Krok 1. Obliczenie pola podstawy.

W podstawie mamy sześciokąt foremny o boku długości \(6\). Sześciokąt foremny możemy podzielić na \(6\) trójkątów równobocznych. Pole pojedynczego trójkąta równobocznego obliczamy ze wzoru \(P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\), zatem pole całego sześciokąta będzie sześciokrotnie większe, czyli:

$$P_{p}=6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\

P_{p}=6\cdot\frac{6^2\sqrt{3}}{4} \\

P_{p}=6\cdot\frac{36\sqrt{3}}{4} \\

P_{p}=6\cdot9\sqrt{3} \\

P_{p}=54\sqrt{3}$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni bocznej.

Ściany boczne naszego graniastosłupa będą kwadratami o boku \(6\). Mamy sześć takich ścian, zatem pole powierzchni bocznej będzie równe:

$$P_{b}=6\cdot6\cdot6 \\

P_{b}=216$$

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.

Na pole powierzchni całkowitej składać się będą dwa pola podstawy oraz pole powierzchni bocznej, zatem:

$$P_{c}=2\cdot54\sqrt{3}+216 \\

P_{c}=216+108\sqrt{3}$$

Odpowiedź: D

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-654.png)

**b)** Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

Musimy pamiętać, że sześciokąt foremny (który znajduje się w podstawie) ma tak zwane dłuższe i krótsze przekątne. Nas interesuje ta dłuższa przekątna.

Krok 2. Obliczenie długości dłuższej przekątnej podstawy.

Dłuższa przekątna sześciokąta foremnego jest dwa razy dłuższa od krawędzi, czyli ma ona długość:

$$d=2\cdot6=12$$

Krok 3. Obliczenie długości przekątnej graniastosłupa.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:

$$12^2+6^2=s^2 \\

144+36=s^2 \\

s^2=180 \\

s=\sqrt{180}=\sqrt{36\cdot5}=6\sqrt{5}$$

Krok 4. Obliczenie cosinusa kąta.

Cosinus to stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie do długości przeciwprostokątnej. Możemy więc zapisać, że:

$$\cos\alpha=\frac{12}{6\sqrt{5}} \\

\cos\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$$

Odpowiedź: \(\cos\alpha=\frac{2\sqrt{5}}{5}\)

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-656.png)

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-655.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2023