---
route: /task/matura-sierpie-2023-31
title: Zadanie matura-sierpie-2023-31
source: Matura sierpień 2023
category: Geometria analityczna
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-sierpie-2023-31

**Źródło:** Matura sierpień 2023
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) punkt \(A = (-1, -4)\) jest wierzchołkiem równoległoboku \(ABCD\). Punkt \(S = (2, 2)\) jest środkiem symetrii tego równoległoboku. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Długość przekątnej \(AC\) równoległoboku \(ABCD\) jest równa

## Odpowiedzi

- **A.** \( \sqrt{5} \)
- **B.** \( 2\sqrt{5} \)
- **C.** \( 3\sqrt{5} \)
- **D.** \( 6\sqrt{5} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** D

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

Środek symetrii równoległoboku pokrywa się z punktem przecięcia jego przekątnych, a to sprawia, że punkt \(S\) jest jednocześnie środkiem przekątnej \(AC\).

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(AS\).

Korzystając ze wzoru na długość odcinka, możemy zapisać, że:

$$|AS|=\sqrt{(x_{S}-x_{A})^2+(y_{S}-y_{A})^2} \\

|AS|=\sqrt{\left(2-(-1)\right)^2+\left(2-(-4)\right)^2} \\

|AS|=\sqrt{3^2+6^2} \\

|AS|=\sqrt{9+36} \\

|AS|=\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot5}=3\sqrt{5}$$

Krok 3. Obliczenie długości przekątnej \(AC\).

Jak już ustaliliśmy, odcinek \(AS\) jest połową długości przekątnej, czyli tym samym możemy zapisać, że długość przekątnej \(AC\) jest równa:

$$|AC|=2\cdot3\sqrt{5} \\

|AC|=6\sqrt{5}$$

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-653.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2023