---
route: /task/matura-sierpie-2023-30
title: Zadanie matura-sierpie-2023-30
source: Matura sierpień 2023
category: Geometria analityczna
points: 1
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2023-30

**Źródło:** Matura sierpień 2023
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 1
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) proste o równaniach: \(y = \sqrt{3}x + 6\) \(y = -\sqrt{3}x + 6\) \(y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x - 2\), przecinają się w punktach, które są wierzchołkami trójkąta \(KLM\). Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3. Trójkąt \(KLM\) jest

A. równoramienny,
B. prostokątny,

ponieważ

1. oś \(Ox\) przechodzi przez jeden z wierzchołków tego trójkąta i środek jednego z boków tego trójkąta.
2. dwie z tych prostych są prostopadłe.
3. oś \(Oy\) zawiera dwusieczną tego trójkąta.

**Prawidłowa odpowiedź:** B2

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Możemy oczywiście narysować te proste, aczkolwiek z samego szkicu rysunku dość trudno będzie ustalić, czy ten trójkąt ma np. ramiona równej długości. W ogóle ustalenie długości ramion jest dość problematyczne (co nie znaczy, że jest niemożliwe). Dużo łatwiej jest sprawdzić, czy ten trójkąt jest prostokątny i to właśnie od tego warto zacząć rozwiązywanie zadania. Jeśli trójkąt jest prostokątny, to wśród naszych równań powinna znaleźć się para prostych prostopadłych (tylko wtedy mielibyśmy kąt prosty w naszym trójkącie). Z własności prostych prostopadłych wiemy, że dwie proste są względem siebie prostopadłe tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy \(-1\). Tak się składa, że wśród naszych prostych jest właśnie taka para - to pierwsza i trzecia prosta, których iloczyn współczynników kierunkowych jest równy \(\sqrt{3}\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-1\).

To prowadzi nas do wniosku, że ten trójkąt faktycznie będzie prostokątny, ponieważ dwie z tych prostych są prostopadłe.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2023