---
route: /task/matura-sierpie-2023-27
title: Zadanie matura-sierpie-2023-27
source: Matura sierpień 2023
category: Planimetria
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2023-27

**Źródło:** Matura sierpień 2023
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest trapez równoramienny \(ABCD\), w którym podstawa \(CD\) ma długość \(6\), ramię \(AD\) ma długość \(4\), a kąty \(BAD\) oraz \(ABC\) mają miarę \(60^\circ\) (zobacz rysunek). Oblicz pole tego trapezu. Zapisz obliczenia.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(P=16\sqrt{3}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

Po dorysowaniu wysokości trapezu, sytuacja z treści zadania będzie wyglądać następująco:

Widzimy, że utworzył nam się tutaj kluczowy trójkąt o kątach \(30°, 60°, 90°\) i to właśnie z niego obliczymy potrzebne długości boków.

Krok 2. Obliczenie dolnej podstawy trapezu.

Spójrzmy na powstały trójkąt prostokątny. Zgodnie z własnościami trójkątów o kątach \(30°, 60°, 90°\), odcinek o długości \(x\) będzie miał miarę dwa razy mniejszą od przeciwprostokątnej (czyli w naszym przypadku od ramienia trapezu). To sprawia, że:

$$x=4:2 \\

x=2$$

Tym samym dolna podstawa trapezu będzie mieć długość:

$$a=2+6+2 \\

a=10$$

Krok 3. Obliczenie wysokości trapezu.

Ponownie spoglądamy na kluczowy trójkąt o kątach \(30°, 60°, 90°\). Zgodnie z własnościami takich trójkątów, wysokość całego trapezu będzie \(\sqrt{3}\) razy dłuższa od odcinka oznaczonego jako \(x\), który jak już ustaliliśmy, ma długość równą \(2\). To oznacza, że w takim razie \(h=2\sqrt{3}\).

Krok 4. Obliczenie pola trapezu.

Mając wszystkie potrzebne informacje możemy przejść do obliczenia pola trapezu, zatem:

$$P=\frac{1}{2}\cdot(a+b)\cdot h \\

P=\frac{1}{2}\cdot(10+6)\cdot2\sqrt{3} \\

P=\frac{1}{2}\cdot16\cdot2\sqrt{3} \\

P=16\sqrt{3}$$

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-652.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2023