---
route: /task/matura-sierpie-2023-18
title: Zadanie matura-sierpie-2023-18
source: Matura sierpień 2023
category: Funkcja kwadratowa
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-sierpie-2023-18

**Źródło:** Matura sierpień 2023
**Kategoria:** Funkcja kwadratowa
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Funkcje \(A, B, C, D, E\) oraz \(F\) są określone dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wzory tych funkcji podano poniżej. Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach. Przedział \((-\infty, 2]\) jest zbiorem wartości funkcji ............. oraz ............. .

## Odpowiedzi

- **A.** \( A(x) = -(x - 3)^2 + 2 \)
- **B.** \( B(x) = x^2 + 2 \)
- **C.** \( C(x) = -5(x - 2)^2 \)
- **D.** \( D(x) = (x - 2)^2 \)
- **E.** \( E(x) = 2x^2 - 8x + 10 \)
- **F.** \( F(x) = -2x^2 + 4x \)

**Prawidłowa odpowiedź:** AF

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Ustalenie współczynnika \(a\).

Do zadania można podchodzić na różne sposoby - w ostateczności można nawet naszkicować wykresy każdej z podanych funkcji. Podejdźmy jednak do tego zadania nieco bardziej analitycznie. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Wiemy, że zbiorem wartości tej funkcji jest przedział \((-\infty,2\rangle\), co prowadzi nas do wniosku, że ta funkcja musi mieć ramiona skierowane do dołu - tylko wtedy najwyższą przyjmowaną wartością może być konkretna liczba. Tym samym wiemy już, że współczynnik kierunkowy \(a\lt0\). Taki współczynnik znalazł się w trzech odpowiedziach: A, C oraz F i tylko do nich możemy się już ograniczyć.

Krok 2. Wybór wzorów funkcji.

Przeanalizujmy teraz każdą z interesujących nas funkcji, czyli \(A(x)\), \(C(x)\) oraz \(F(x)\). Szukamy wśród tych propozycji takiej funkcji, której największa wartość będzie równa \(2\). Wiedząc, że największa wartość przyjmowana jest w wierzchołku, możemy wręcz powiedzieć, że interesuje nas sytuacja, w której \(q=2\).

\(A(x)=-(x-3)^2+2\)

Jest to funkcja zapisana w postaci kanonicznej, z której możemy odczytać, że \(q=2\). Jest to więc pierwsza poszukiwana funkcja.

\(C(x)=-5(x-2)^2\)

Tutaj również mamy postać kanoniczną, którą moglibyśmy dla lepszego zobrazowania rozpisać jako \(C(x)=-5(x-2)^2+0\). Mówiąc wprost, jest to sytuacja dość podobna do tej z odpowiedzi A, ale tutaj współrzędna \(q=0\), co sprawia, że zbiorem wartości będzie przedział \((-\infty,0\rangle\). Ta funkcja nie jest zatem tą, której szukamy.

\(F(x)=-2x^2+4x\)

Odrzucając wszystkie pozostałe odpowiedzi wiemy już, że to jest funkcja, której szukamy. Ustalmy może jeszcze skąd wiemy, że największą wartością przyjmowaną przez tą funkcję jest akurat \(2\). W tym celu wystarczy obliczyć współrzędną \(q\) wierzchołka paraboli. Funkcja jest zapisana w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam wzór:

$$q=\frac{-\Delta}{4a}$$

Obliczmy najpierw deltę.

Współczynniki: \(a=-2,\;b=4,\;c=0\)

$$\Delta=b^2-4ac=4^2-4\cdot(-2)\cdot0=16-0=16$$

W takim razie:

$$q=\frac{-16}{4\cdot(-2)} \\

q=\frac{-16}{-8} \\

q=2$$

To oznacza, że to jest właśnie nasza druga funkcja, której szukaliśmy.

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-649.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/funkcja-kwadratowa
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2023