---
route: /task/matura-sierpie-2023-08
title: Zadanie matura-sierpie-2023-08
source: Matura sierpień 2023
category: Równania i nierówności
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-sierpie-2023-08

**Źródło:** Matura sierpień 2023
**Kategoria:** Równania i nierówności
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Równanie \(\frac{(x^2-3x)(x^2+1)}{x^2-25}=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

## Odpowiedzi

- **A.** jedno rozwiązanie.
- **B.** dwa rozwiązania.
- **C.** trzy rozwiązania.
- **D.** cztery rozwiązania.

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Zapisanie założeń.

Zanim zaczniemy cokolwiek obliczać, musimy zapisać założenia do naszego równania. Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\), to nasz mianownik musi być różny od zera. To oznacza, że:

$$x^2-25\neq0 \\

x^2\neq25 \\

x\neq5 \quad\lor\quad x\neq-5$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.

Teraz możemy przystąpić do rozwiązania naszego równania. Całość możemy standardowo rozpocząć od wymnożenia obydwu stron przez zawartość z mianownika. Sprawi to, że po lewej stronie zostanie nam tylko licznik, a po prawej cały czas będziemy mieć \(0\). Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:

$$\frac{(x^2-3x)(x^2+1)}{x^2-25}=0 \quad\bigg/\cdot(x^2-25) \\

(x^2-3x)(x^2+1)=0$$

Otrzymaliśmy postać iloczynową, zatem przyrównujemy wartości w nawiasach do zera, czyli:

$$x^2-3x=0 \quad\lor\quad x^2+1=0 \\

x(x-3)=0 \quad\lor\quad x^2=-1 \\

x=0 \quad\lor\quad x-3=0 \quad\lor\quad x^2=-1 \\

x=0 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x^2=-1$$

Z równania \(x^2=-1\) nie otrzymamy żadnych rozwiązań, bo nie istnieje jakakolwiek liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu daje wynik ujemny. To oznacza, że zostają nam \(x=0\) oraz \(x=3\).

Krok 3. Weryfikacja rozwiązań z założeniami.

Otrzymane rozwiązania musimy jeszcze zweryfikować z założeniami. W naszym przypadku rozwiązania \(x=0\) oraz \(x=3\) nie wykluczają się z rozwiązaniami, a to oznacza, że to równanie ma dwa rozwiązania.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/rownania-i-nierownosci
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2023