---
route: /task/matura-sierpie-2022-33
title: Zadanie matura-sierpie-2022-33
source: Matura sierpień 2022
category: Planimetria
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2022-33

**Źródło:** Matura sierpień 2022
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest trójkąt równoboczny \(ABC\) o boku długości \(24\). Punkt \(E\) leży na boku \(AB\), a punkt \(F\) - na boku \(BC\) tego trójkąta. Odcinek \(EF\) jest równoległy do boku \(AC\) i przechodzi przez środek \(S\) wysokości \(CD\) trójkąta \(ABC\) (zobacz rysunek). Oblicz długość odcinka \(EF\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(|EF|=18\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie wysokości trójkąta \(ABC\).

Trójkąt \(ABC\) jest równoboczny o boku długości \(a=24\). Korzystając ze wzoru na wysokość takiego trójkąta, wyjdzie nam, że:

$$h=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\

h=\frac{24\sqrt{3}}{2} \\

h=12\sqrt{3}$$

Tym samym możemy zapisać, że \(|CD|=12\sqrt{3}\).

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(DS\) oraz \(AD\).

Środek wysokości \(S\) dzieli wysokość \(CD\) na dwie równe części, zatem długość odcinka \(DS\) będzie równa:

$$|DS|=12\sqrt{3}:2 \\

|DS|=6\sqrt{3}$$

Dodatkowo możemy od razu policzyć długość odcinka \(AD\). W trójkątach równobocznych wysokość dzieli podstawę na dwie równe części, zatem:

$$|AD|=24:2 \\

|AD|=12$$

Krok 3. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów i ułożenie odpowiedniego równania.

Skoro odcinek \(EF\) jest równoległy do boku \(AC\), to trójkąty \(ADC\) oraz \(EDS\) są trójkątami podobnymi. Możemy więc zapisać, że:

$$\frac{|CD|}{|AD|}=\frac{|DS|}{|ED|} \\

\frac{12\sqrt{3}}{12}=\frac{6\sqrt{3}}{|ED|}$$

Mnożąc na krzyż, otrzymamy:

$$12\sqrt{3}\cdot|ED|=12\cdot6\sqrt{3} \\

|ED|=6$$

Ewentualnie można do tematu podejść jeszcze inaczej, korzystając ze skali podobieństwa. Spójrzmy na trójkąty prostokątne \(ADC\) oraz \(EDS\). Są to trójkąty podobne w skali podobieństwa \(k=\frac{1}{2}\) (bo wysokość \(SD\) jest dwa razy mniejsza od wysokości \(CD\)). Skoro tak, to dolna przyprostokątna \(ED\) jest dwa razy krótsza od przyprostokątnej \(AD\), więc:

$$|ED|=k\cdot|AD| \\

|ED|=\frac{1}{2}\cdot12=6$$

Krok 4. Obliczenie długości odcinka \(EF\).

Spójrzmy na trójkąt \(EBF\). Jest on trójkątem podobnym do trójkąta \(ABC\), a więc też jest on równoboczny. Z dotychczasowych obliczeń wynika, że \(|ED|=6\) oraz \(|DB|=12\), a więc \(|EB|=6+12=18\). To oznacza, że długość wszystkich boków tego trójkąta ma długość \(18\), czyli tym samym \(|EF|=18\).

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-580.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2022