---
route: /task/matura-sierpie-2022-20
title: Zadanie matura-sierpie-2022-20
source: Matura sierpień 2022
category: Trygonometria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-sierpie-2022-20

**Źródło:** Matura sierpień 2022
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Pole prostokąta jest równe \(16\), a przekątne tego prostokąta przecinają się pod kątem ostrym \(\alpha\), takim, że \(\sin \alpha = 0{,}2\). Długość przekątnej tego prostokąta jest równa

## Odpowiedzi

- **A.** \( 4\sqrt{5} \)
- **B.** \( 4\sqrt{10} \)
- **C.** \( 80 \)
- **D.** \( 160 \)

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-sierpie-2022-20.png]

W tym zadaniu możemy skorzystać z nietypowego wzoru na pole równoległoboku (czyli także prostokąta), który znajduje się w tablicach maturalnych:

$$P=\frac{1}{2}\cdot|AC|\cdot|BD|\cdot sin\gamma$$

gdzie \(AC\) oraz \(BD\) to przekątne prostokąta, a \(\gamma\) to kąt ostry między tymi przekątnymi.

W przypadku prostokąta przekątne mają jednakową długość (nazwijmy ją \(d\)), a kąt w treści zadania jest oznaczony jako \(\alpha\), więc moglibyśmy zapisać, że:

$$P=\frac{1}{2}\cdot d\cdot d\cdot sin\alpha$$

Podstawiając teraz dane z treści zadania, otrzymamy:

$$16=\frac{1}{2}\cdot d\cdot d\cdot0,2 \\

16=0,1\cdot d^2 \\

d^2=160 \\

d=\sqrt{160} \quad\lor\quad d=-\sqrt{160}$$

Długość przekątnej musi być dodatnia, więc zostaje nam \(d=\sqrt{160}\). Takiej odpowiedzi nie mamy w proponowanych, a to dlatego, że z tego pierwiastka da się jeszcze wyłączyć całość:

$$d=\sqrt{160}=\sqrt{16\cdot10}=4\sqrt{10}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2022