---
route: /task/matura-sierpie-2022-17
title: Zadanie matura-sierpie-2022-17
source: Matura sierpień 2022
category: Trygonometria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-sierpie-2022-17

**Źródło:** Matura sierpień 2022
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Nie istnieje kąt ostry \(\alpha \) taki, że

## Odpowiedzi

- **A.** \( \sin \alpha =\frac{1}{3} \) i \(\cos \alpha =\frac{2}{3}\)
- **B.** \( \sin \alpha =\frac{5}{13} \) i \(\cos \alpha =\frac{12}{13} \)
- **C.** \( \sin \alpha =\frac{3}{5} \) i \(\cos \alpha =\frac{4}{5} \)
- **D.** \( \sin \alpha =\frac{9}{15} \) i \(\cos \alpha =\frac{12}{15} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** A

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Do zadania można podejść na różne sposoby. Ciekawym podejściem byłoby chociażby skorzystanie z tablic trygonometrycznych i sprawdzenie, czy dla podanych wartości sinusa i cosinusa odczytamy tą samą miarę kąta. Możemy to też sprawdzić na trójkącie prostokątnym (tu trzeba byłoby zweryfikować za pomocą twierdzenia Pitagorasa, czy dane długości boków w ogóle są możliwe). A najłatwiej jest chyba to sprawdzić korzystając z jedynki trygonometrycznej. Jeśli istnieje dany kąt \(\alpha\), to \(sin^2\alpha+cos^2\alpha\) będzie równe \(1\).

Odp. A.

$$\left(\frac{1}{3}\right)^2+\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{1}{9}+\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$$

Otrzymany wynik nie jest równy 1, co oznacza, że taki kąt \(\alpha\) nie istnieje.

Odp. B.

$$\left(\frac{5}{13}\right)^2+\left(\frac{12}{13}\right)^2=\frac{25}{169}+\frac{144}{169}=\frac{169}{169}=1$$

Otrzymany wynik oznacza, że taki kąt \(\alpha\) istnieje.

Odp. C.

$$\left(\frac{3}{5}\right)^2+\left(\frac{4}{5}\right)^2=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=\frac{25}{25}=1$$

Otrzymany wynik oznacza, że taki kąt \(\alpha\) istnieje.

Odp. D.

$$\left(\frac{9}{15}\right)^2+\left(\frac{12}{15}\right)^2=\frac{81}{225}+\frac{144}{225}=\frac{225}{225}=1$$

Otrzymany wynik oznacza, że taki kąt \(\alpha\) istnieje.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2022