---
route: /task/matura-sierpie-2022-16
title: Zadanie matura-sierpie-2022-16
source: Matura sierpień 2022
category: Trygonometria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-sierpie-2022-16

**Źródło:** Matura sierpień 2022
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Przyprostokątna \(AC\) trójkąta prostokątnego \(ABC\) ma długość \(6\), a przeciwprostokątna \(AB\) ma długość \(3\sqrt{5}\). Wtedy tangens kąta ostrego \(CAB\) tego trójkąta jest równy

## Odpowiedzi

- **A.** \( \frac{\sqrt{5}}{5} \)
- **B.** \( \frac{2\sqrt{5}}{5} \)
- **C.** \( \frac{1}{2} \)
- **D.** \( 2 \)

**Prawidłowa odpowiedź:** C

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

Nanosząc na trójkąt długości boków z treści zadania (musimy przy okazji uważać na oznaczenia, tak aby przeciwprostokątną był bok \(AB\)), otrzymamy taką oto sytuację:

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-576.png)

Krok 2. Obliczenie długości przyprostokątnej \(BC\).

Znamy długości dwóch boków trójkąta prostokątnego, więc obliczymy brakującą długość przyprostokątnej korzystając z Twierdzenia Pitagorasa:

$$|BC|^2+6^2=(3\sqrt{5})^2 \\

|BC|^2+36=9\cdot5 \\

|BC|^2+36=45 \\

|BC|^2=9 \\

|BC|=3 \quad\lor\quad |BC|=-3$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, więc zostaje nam \(|BC|=3\).

Krok 3. Obliczenie tangensa kąta \(CAB\).

Tangens to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko danego kąta, względem przyprostokątnej leżącej przy tym kącie. W naszym przypadku oznacza to, że:

$$tg\alpha=\frac{|BC|}{|AC|} \\

tg\alpha=\frac{3}{6} \\

tg\alpha=\frac{1}{2}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2022