---
route: /task/matura-sierpie-2021-35
title: Zadanie matura-sierpie-2021-35
source: Matura sierpień 2021
category: Ciągi
points: 5
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2021-35

**Źródło:** Matura sierpień 2021
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest ciąg \((a_n)\) określony wzorem \(a_n=\frac{5-3n}{7}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\). Trójwyrazowy ciąg \((a_4, x^2+2,a_{11})\), gdzie \(x\) jest liczbą rzeczywistą, jest geometryczny. Oblicz \(x\) oraz iloraz tego ciągu geometrycznego.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(x=0\), \(q=-2\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie wartości \(a_{4}\) oraz \(a_{11}\).

Na początek uporządkujmy sobie o co chodzi w zadaniu, bo tak na pierwszy rzut oka można się pogubić. Mamy jakiś ciąg \(a_{n}\) i on jest określony wzorem \(\frac{5-3n}{7}\). Czwarty oraz jedenasty wyraz tego ciągu znajduje się także w innym, trójwyrazowym ciągu geometrycznym i to właśnie w tym ciągu znajduje się poszukiwana niewiadoma \(x\). Obliczenia zaczniemy więc od obliczenia \(a_{4}\) oraz \(a_{11}\). W tym celu musimy do wzoru ciągu podstawić najpierw \(n=4\), a potem \(n=11\), zatem:

$$a_{4}=\frac{5-3\cdot4}{7}=\frac{5-12}{7}=\frac{-7}{7}=-1 \\

a_{11}=\frac{5-3\cdot11}{7}=\frac{5-33}{7}=\frac{-28}{7}=-4$$

Krok 2. Obliczenie wartości \(x\).

Wartość \(x\) ukrywa się w środkowym wyrazie naszego ciągu geometrycznego. Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że dla trzech kolejnych wyrazów tego ciągu zachodzi następująca równość:

$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Podstawiając teraz znane nam wartości, otrzymamy:

$$(x^2+2)^2=(-1)\cdot(-4) \\

x^4+4x^2+4=4 \\

x^4+4x^2=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania.

Powstało nam równanie czwartego stopnia, ale w takiej postaci, którą jesteśmy w stanie rozwiązać. W tym celu wystarczy wyłączyć z \(x^4\) oraz \(4x^2\) wartość \(x^2\), otrzymując:

$$x^2(x^2+4)=0$$

Teraz zachowujemy się identycznie jak przy postaci iloczynowej, czyli musimy przyrównać odpowiednie wartości do zera, zatem:

$$x^2=0 \quad\lor\quad x^2+4=0 \\

x=0 \quad\lor\quad x^2=-4$$

Z racji tego, iż z drugiego równania nie mamy żadnych rozwiązań (nie istnieje jakakolwiek liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu daje \(-4\)), to jedynym rozwiązaniem tego równania jest \(x=0\).

Krok 4. Obliczenie wartości drugiego wyrazu ciągu geometrycznego.

\(x=0\) to nie jest drugi wyraz ciągu geometrycznego! Drugim wyrazem ciągu jest \(x^2+2\), czyli:

$$a_{2}=0^2+2 \\

a_{2}=0+2 \\

a_{2}=2$$

To oznacza, że nasz ciąg geometryczny przyjmuje postać: \(-1, 2, -4\).

Krok 5. Obliczenie wartości ilorazu \(q\).

Znając dwa sąsiednie wyrazy ciągu geometrycznego, obliczenie ilorazu jest już tylko formalnością:

$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \\

q=\frac{2}{-1} \\

q=-2$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2021